Problèmes de synthèse

En cours d'algèbre linéaire, il a été établi que l'espace vectoriel des matrices complexes, à n lignes et m colonnes, a pour dimension nm donc \(\dim(\mathcal M_3(C))=3\times3\) et \(\dim(E)=9\).

Par définition \(E_A={M\in E ; MA=AM}\).

Il est immédiat que la matrice nulle appartient à E_A donc cet ensemble n'est pas vide.

Si \(M\) et \(M'\) sont deux éléments de E_A alors \((M+M')A=MA+M'A=AM+AM'=A(M+M')\) donc \(M+M'\) est élément de E_A.

On vérifie aussi simplement que si \(\lambda\) est un nombre complexe et M un élément de E_A alors \(\lambda M\) est élément de E_A.

La partie E_A de l'espace vectoriel E, étant non vide, stable par addition et par multiplication par un scalaire, est un sous-espace vectoriel de E.

On cherche tout d'abord à caractériser les éléments de E_D.

Soit \(M\) un élément de \(E\), \(M=\left(\begin{array}{cccccccc} &x_1 &x_2&x_3 \\&y_1&y_2&y_3 \\ &z_1&z_2&z_3 \end{array} \right)\) alors \(M\in E_D\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cccccccc} &x_1 &x_2&x_3 \\&y_1&y_2&y_3 \\ &z_1&z_2&z_3 \end{array} \right)\left(\begin{array}{cccccccc} &\lambda_1 &0&0 \\&0&\lambda_2&0 \\ &0&0&\lambda_3 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{cccccccc} &\lambda_1 &0&0 \\&0&\lambda_2&0 \\ &0&0&\lambda_3 \end{array} \right)\left(\begin{array}{cccccccc} &x_1 &x_2&x_3 \\&y_1&y_2&y_3 \\ &z_1&z_2&z_3 \end{array} \right)\)

donc \(M\in E_D\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cccccccc} &\lambda_1x_1 &\lambda_2x_2&\lambda_3x_3 \\&\lambda_1y_1&\lambda_2y_2&\lambda_3y_3 \\ &\lambda_1z_1&\lambda_2z_2&\lambda_3z_3 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{cccccccc} &\lambda_1x_1 &\lambda_1x_2&\lambda_1x_3 \\&\lambda_2y_1&\lambda_2y_2&\lambda_2y_3 \\ &\lambda_3z_1&\lambda_3z_2&\lambda_3z_3 \end{array} \right)\)

Les termes diagonaux coïncidant toujours, il reste six relations.

\(M\in E_D\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccccc} \lambda_2x_2=\lambda_1x_2 \\\lambda_3x_3=\lambda_1x_3 \\\lambda_1y_1=\lambda_2y_1 \\\lambda_3y_3=\lambda_2y_3 \\ \lambda_1z_1=\lambda_3z_1 \\\lambda_2z_2=\lambda_3z_2\end{array}\right. \Leftrightarrow (S)\left\{\begin{array}{cccccccc} (\lambda_2-\lambda_1)x_2=0 \\(\lambda_3-\lambda_1)x_3=0 \\(\lambda_1-\lambda_2)y_1=0 \\(\lambda_3-\lambda_2)y_3=0 \\ (\lambda_1-\lambda_3)z_1=0 \\(\lambda_2-\lambda_3)z_2=0\end{array}\right.\)

On est ainsi amené à distinguer trois cas.

Les trois scalaires \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) sont distincts deux à deux.

Le système (S) a pour solution \(x_2=x_3=y_1=y_3=z_1=z_2=0\) d'où \(M\in E_D\Leftrightarrow M=\left(\begin{array}{cccccccc} &x_1 &0&0 \\&0&y_2&0 \\ &0&0&z_3 \end{array} \right)\)

Dans ce cas E_D est l'espace vectoriel des matrices diagonales complexes d'ordre 3 et \(\dim(E_D)=3\).

\(\lambda_1=\lambda_2\) et \(\lambda_1\neq\lambda_3\).

Le système (S) a pour solution \(x_3=y_3=z_1=z_2=0\) d'où \(M\in E_D\Leftrightarrow M=\left(\begin{array}{cccccccc} &x_1 &x_2&0 \\&y_1&y_2&0 \\ &0&0&z_3 \end{array} \right)\)

Dans ce cas E_D est l'espace vectoriel des matrices complexes d'ordre 3 engendré par les cinq matrices

\(\left(\begin{array}{cccccccc} &1 &0&0 \\&0&0&0 \\ &0&0&0 \end{array} \right),\left(\begin{array}{cccccccc} &0 &1&0 \\&0&0&0 \\ &0&0&0\end{array} \right),\left(\begin{array}{cccccccc} &0 &0&0 \\&1&0&0 \\ &0&0&0 \end{array} \right),\left(\begin{array}{cccccccc} &0 &0&0 \\&0&1&0 \\ &0&0&0\end{array} \right),\left(\begin{array}{cccccccc} &0 &0&0 \\&0&0&0 \\ &0&0&1 \end{array} \right)\) et \(\dim(E_D)=5\).

\(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3\).

Le système (S) est toujours satisfait.

Toute matrice d'ordre 3 commute avec \(D\) qui est la matrice d'une homothétie.

Dans ce cas E_D est égal à E et \(\dim(E_D)=9\).

1. \(M\in E_A\Leftrightarrow MA=AM\Leftrightarrow M(PDP^{-1})=(PDP^{-1})M\Leftrightarrow P^{-1}M(PDP^{-1})=(DP^{-1})M\)

   \(M\in E_A\Leftrightarrow(P^{-1}MP)D=D(P^{-1}MP)\Leftrightarrow P^{-1}MP\in E_D\).

   Donc une matrice M appartient à E_A si et seulement si \(P^{-1}MP\in E_D\) appartient à E_D.

2. Soit l'application de E dans lui-même, définie par \(\Phi(M)=P^{-1}MP\). Il est immédiat que c'est une application linéaire ; elle est injective car si \(M\) est dans le noyau de \(\Phi, P^{-1}MP=0\) donc \(M=0\) car \(P\) est inversible. D'où \(\Phi\) est bijective et c'est un isomorphisme de \(E\).

   D'après la question précédente \(\Phi(E_A)=E_D\). L'application \(\Phi\) étant un isomorphisme, elle conserve les dimensions des sous-espaces vectoriels.

   D'où \(\dim(E_A)=\dim(E_D)\).

3. D'après la question 3, trois cas sont à envisager selon la multiplicité algébrique des valeurs propres de \(A\).

   La matrice A possède :

   • trois valeurs propres simples, \(\dim(E_A)=3\),

   • une valeur propre double et une valeur propre simple, \(\dim(E_A)=5\),

   • une valeur propre triple, \(\dim(E_A)=9\). Dans ce cas \(E_A=E\).

Soit trois nombres complexes \(\alpha, \beta, \gamma\) tels que \(\alpha I_3+\beta D+\gamma D^2=0\), alors

\(\alpha\left(\begin{array}{cccccccc} &1&0&0 \\&0&1&0 \\ &0&0&1 \end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{cccccccc} &\lambda_1&0&0 \\&0&\lambda_2&0 \\ &0&0&\lambda_3 \end{array}\right)+\gamma\left(\begin{array}{cccccccc} &\lambda_1^2&0&0 \\&0&\lambda_2^2&0 \\ &0&0&\lambda_3^2 \end{array}\right)=0\)

donc \(\alpha+\beta\lambda_1+\gamma\lambda_1^2=0, \alpha+\beta\lambda_2+\gamma\lambda_2^2=0, \alpha+\beta\lambda_3+\gamma\lambda_3^2=0\).

Pour continuer deux méthodes sont proposées.

1^ère méthode utilisant la théorie des polynômes

Soit le polynôme \(\alpha+\beta X+\gamma X^2\), s'il n'est pas nul, il est de degré au plus 2 d'où le nombre de ses racines est au plus 2 or il admet au moins trois racines distinctes \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\), c'est donc le polynôme nul.

Le polynôme étant le polynôme nul, \(\alpha=\beta=\gamma=0\).

2^ième méthode utilisant un déterminant de Vandermonde

Ainsi les nombres \(\alpha, \beta, \gamma\) cherchés sont solutions du système linéaire

\((S)\left(\begin{array}{cccccccc} \alpha+\lambda_1\beta+\lambda_1^2\beta=0 \\ \alpha+\lambda_2\beta+\lambda_2^2\beta=0 \\ \alpha+\lambda_3\beta+\lambda_3^2\beta=0 \end{array}\right.\),

dont le déterminant associé est \(\left |\begin{array}{cccccccc} &1&\lambda_1&\lambda_1^2 \\&1&\lambda_2&\lambda_2^2 \\&1&\lambda_3&\lambda_3^2 \end{array}\right|\).

C'est un déterminant de Vandermonde, il est non nul car les scalaires \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) sont deux à deux distincts.

Le système linéaire (S) a donc une solution unique qui est le triplet (0,0,0).

D'où \(\alpha=\beta=\gamma=0\).

On vient de montrer :

Ceci exprime que les matrices I₃, D, D² forment une famille libre de \(E\).

Il résulte du cours que la matrice \(A\) ayant trois valeurs propres distinctes, notées \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\), elle est diagonalisable et semblable à la matrice \(D=\left(\begin{array}{cccccccc} &\lambda_1&0&0 \\&0&\lambda_2&0 \\ &0&0&\lambda_3\end{array}\right)\), donc il existe une matrice inversible \(P\) telle que \(D=P^{-1}AP\).

Soit trois nombres complexes \(\alpha, \beta, \gamma\) tels que \(\alpha I_3+\beta A+\gamma A^2=0\), alors \(P^{-1}(\alpha I_3+\beta A+\gamma A^2)P=0\), donc \(\alpha P^{-1}I_3P+\beta P^{-1}AP+\gamma P^{-1}A^2P=0\) et enfin \(\alpha I_3+\beta D+\gamma D^2=0\).

Remarque : en utilisant l'isomorphisme introduit au B.4.b. ce résultat est immédiat.

Or d'après la question précédente, les scalaires \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) étant distincts deux à deux, les matrices I₃, D, D² forment une famille libre de \(E\). D'où .

On vient de montrer :

Ceci exprime que les matrices I₃, A, A² forment une famille libre de \(E\).

Il est immédiat que les matrices I₃, A, A² commutent avec la matrice \(A\) donc appartiennent à E_A. Ce sous-espace vectoriel de \(E\) est de dimension 3.

Les matrices I₃, A, A², étant trois vecteurs linéairement indépendants de E_A, elles déterminent une base de E_A.

Ainsi E_A est l'ensemble des combinaisons linéaires des matrices I₃, A, A².

Autrement dit \(E_A=\{\alpha I_3+\beta A+\gamma A^2, (\alpha, \beta, \gamma)\in\mathbb C^3\}\).

1. La matrice C est triangulaire donc ses valeurs propres sont les termes diagonaux 1, 2, 3. Donc C possède trois valeurs propres distinctes, en appliquant le résultat de la question précédente, on obtient \(E_C=\{\alpha I_3+\beta C+\gamma C^2, (\alpha, \beta, \gamma)\in\mathbb C^3\}\).

   Or \(C=\left(\begin{array}{cccccccc} &1&0&1\\&0&2&1\\&0&0&3 \end{array}\right)\) et \(C^2=\left(\begin{array}{cccccccc} &1&0&4\\&0&4&5\\&0&0&9 \end{array}\right)\).

   On en déduit \(E_C=\left\{\left(\begin{array}{cccccccc} &\alpha+\beta=\gamma&0&\beta+4\gamma \\&0&\alpha+2\beta+4\gamma&\beta+5\gamma \\&0&0&\alpha+3\beta+9\gamma \end{array} \right), ( \alpha, \beta, \gamma)\in\mathbb C^3\right\}\).

2. La matrice \(B\) a été étudiée dans la partie A. Elle est diagonalisable, elle possède une valeur propre double et une valeur propre simple donc d'après la question B.4.c., la dimension de E_B est égale à 5.Autrement dit \(\dim(E_B)=5\).