On note, pour tout entier n, z_n=x_n+iy_n avec x_n\in R, y_n\in R. On a |z_n|^2=x^2_n+y_n^2.
Convergence de la série \sum x_n^2
On a |z_n|^2=x_n^2+y_n^2. La série \sum z_n est convergente si et seulement si, les séries
\sum x_n et \sum y_n sont convergentes. Ainsi la série à termes positifs \sum x_n
est convergente, on a donc \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}x_n=0 et, à partir d'un certain rang N,
0\leq x_n<1. Donc :\forall n\geq N,0\leq x_n^2<x_n. Par application du théorème de comparaison,
la série \sum x_n^2est donc convergente par application du théorème de comparaison.
Convergence de la série \sum y_n^2
La série \sum z_n^2 étant convergente, l'égalité z_n^2=x_n^2-y_n^2+2ix_ny_n entraîne alors en
particulier la convergence de la série des parties réelles \sum(x_n^2-y_n^2)et donc de la série \sum y_n^2.
Conclusion
Cela implique que la série \sum |z_n^2| est convergente.
La recherche d'un exemple où la série \sum |z_n^2| est divergente, alors que les séries \sum z_n et \sum z_n^2
sont convergentes, peut s'orienter en prenant pour série \sum |z_n^2| la série harmonique, on peut
prendre par exemple z_n=\frac{e^{i\theta_n}}{\sqrt{n}} (n\geq1) d'où z_n^2=\frac{e^{2i\theta_n}}{n}, plus précisément
z_n=\frac{e^{in\theta }}{\sqrt{n}} avec \theta\in]0,\pi[.
Les séries \sum z_n et \sum z_n^2 sont convergentes, d'après le théorème d'Abel. La série \sum |z_n^2| est la série harmonique donc divergente.