Conditions pour qu'une fonction soit développable en série entière
Pour qu'une fonction \(f\) de \(R\) dans \(R\) soit développable en série entière, il faut que les conditions suivantes soient remplies :
il existe un intervalle ouvert \(I\) centré en 0 tel que \(f\) soit de classe \(C^{\infty} \)sur \(I\),
la série entière \(\sum\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\)a un rayon de convergence \(R\) non nul.
Ces conditions ne sont pas suffisantes comme le montre l'exemple de la fonction, déjà rencontrée plus d'une fois, définie par : \(\forall x\neq 0, f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}, f(0)=0\).
Exemple : détail
Cette fonction est de classe \(C^{\infty}\) sur \(R\). En effet, elle est indéfiniment dérivable pour tout \(x\) non nul et sa dérivée d'ordre \(n\) est de la forme \(\forall x\neq 0, f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{x^{3n}}e^{-\frac{1}{x^2}}\), où \(P_n\) est un polynôme de degré \(2n-2\).
On a donc \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f^{(n)}(x)=0\) d'où : \(\forall n\in N, f^{(n)}(0)=0\). La série de Taylor de la fonction \(f\) est donc la série nulle et il n'existe aucun intervalle ouvert centré à l'origine sur lequel on ait en tout point : \(f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\), car la fonction \(f\) ne s'annule qu'en 0.
Exemple de fonction de classe \(C^{\infty}\) non développable en série entière
Autre exemple
\(f:\left\{\begin{array}{cc}x\leq 0 : &0\\ x<0 : & e^{-\frac{1}{x^2}} \end{array}\right.\)
Recherche d'une condition nécessaire et suffisante.
On considère une fonction \(f\) de classe \(C^{\infty}\) sur un intervalle ouvert \(I\) centré en 0 et dont le rayon de convergence de la série de Taylor est non nul. On pose :
\(\forall n\in N, \forall x\in I, R_n(x)=f(x)-\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\).
La fonction \(f\) est développable en série entière si, et seulement si, il existe un réel \(C(0,r)\) tel que la suite de fonctions \((R_n)\) converge simplement vers 0 sur l'intervalle \(]-r,r[\).
Cette condition nécessaire et suffisante n'est pas toujours facile à exprimer. On utilise plus fréquemment la condition suffisante suivante.
Théorème :
Pour que la fonction \(f\) soit développable en série entière sur un intervalle ouvert centré en 0, il suffit qu'il existe des réels \(C(0,r)\) et \(M\) tels qu'on ait : \(\forall n\in N, \forall x\in ]-r,r[, \left|f^{(n)}(x)\right|\leq M\).
La fonction \(f\) est alors développable en série entière sur l'intervalle \(]-r,r[\).
Preuve :
En appliquant la formule de Taylor à la fonction \(f\) à l'ordre \(n\) sur l'intervalle \(]-r,r[\), on a, pour tout entier \(n\) :
\(\left|f(x) - \displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\right|=\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}\left(\theta x\right)\right|\leq M\frac{r^{n+1}}{(n+1)!}\)
et \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}M \frac{r^{n+1}}{(n+1)!}=0\). Le rayon de convergence \(R\) vérifie alors \(R\geq r\).