Question 3
Durée : 21 mn
Note maximale : 12
Question
On considère la fonction \(x\mapsto(\arctan{x})^2\).
A. Montrer que la fonction \(x\mapsto(\arctan{x})^2\) est développable en série entière dans le disque unité. (Durée indicative : 4 mn)
B. Montrer que la fonction \(f\):\(x\mapsto(\arctan{x})^2\) est solution de l'équation différentielle : \((x^2+1)^2y''+2x(x^2+1)y'-2=0\). (Durée indicative : 8 mn)
C. La fonction \(f\) étant paire, on pose : \(\forall x\in ]-1,1[\), \((\arctan{x})^2=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{2n}x^{2n}\). Déterminer la relation de récurrence vérifiée par la suite \((a_n)\). (Pour déterminer cette suite il sera utile de poser successivement : \(b_n=na_{2n}\) et \(c_n=b_n+b_{n+1}\)).
En déduire le développement en série entière et le rayon de convergence de la série entière obtenue. (Durée indicative : 9 mn)
Solution
A. La fonction arctan étant développable en série entière dans le disque unité, la fonction \((\arctan)^2\):\(x\mapsto(\arctan{x})^2\) est développable en série entière dans ce disque et on peut obtenir son développement en série entière en faisant le produit du développement en série entière de la fonction arctan par lui-même. Le rayon de convergence est donc au moins 1.
B. En notant \(f\) la fonction \((\arctan)^2\), on a, en dérivant une première fois : \(f(x)=(\arctan{x})^2\), \(f'(x)=2\frac{\arctan{x}}{1+x^2}\). D'où \((x^2+1)f'(x)=2\arctan{x}\).
En dérivant les deux membres de cette égalité sur l'intervalle \(]-1,1[\), on obtient : \((x^2+1)f''(x)+2xf'(x)=\frac{2}{1+x^2}\). La fonction \((\arctan)^2\) est donc solution de l'équation différentielle
\((x^2+1)^2y''+2x(x^2+1)y'-1=0\).
Plus précisément la fonction \((\arctan)^2\) est la solution de cette équation différentielle qui vérifie : \(y(0)=0\) et \(y'(0)=0\).
On remarque (cela sert à la question suivante) que \(f''(0)=2\).
C. D'après la question précédente \(a_0=f(0)=0\) et \(a_2=\frac{f''(0)}{2}=1\). Puis, en identifiant les termes de degré \(?\) dans les deux membres de l'équation différentielle on obtient :
\(4a_2+6a_4=0\) et (R) \(\forall n\geq 2\), \((n-1)(2n-1)a_{2n-2}+4n^2a_{2n}+(n+1)(2n+1)a_{2n+2}=0\).
Pour étudier la relation de récurrence (R), on pose \(b_n=na_{2n}\). On obtient la relation de récurrence (R')\(\forall n\geq 2\), \((2n-1)b_{n-1}+4nb_n+(2n+1)b_{n+1}=0\).
La relation (R') s'écrit encore \(\forall n\geq 2\), \((2n-1)(b_{n-1}+b_n)+(2n+1)(b_n+b_{n+1})=0\).
En notant \(c_n=b_n+b_{n+1}\), on obtient (R'') \(\forall n\geq 2\), \((2n-1)c_{n-1}+(2n+1)c_n=0\) avec \(c_0=b_0+b_1=a_2=1\).
On en déduit, par une récurrence immédiate : \(\forall n\geq 0, c_n=\frac{(-1)^n}{2n+1}\).
On a donc \(b_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-1-k}c_k=(-1)^{n-1}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+1}\).
Et finalement \((\arctan{x})^2=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}\right)\frac{x^{2n}}{n}\).
Le rayon de convergence de la série entière est 1. En effet, pour \(x=1\), on a : \(|a_{2n}|=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}}{n}\),
on en déduit \(|a_{2n}|\geq \frac{n}{n(2n-1)}=\frac{1}{2n-1}\).
La série entière n'est donc pas absolument convergente pour \(x=1\), et le rayon de convergence ne peut être strictement supérieur à 1. Ce dernier est donc égal à 1.