Suites de fonctions

D'après la formule de Newton sur le développement du binôme : \(\displaystyle \sum_{k=0}^n \mathtt{C}_n^kX^k(1 - X)^{n - k} = (X + (1 - X))^n = 1\)

Or \(\displaystyle \sum_{k=0}^n \mathtt{C}_n^kX^k(1 - X)^{n - k} = B_n(f_0)\) , donc \(B_n(f_0)\) = 1.

1. \(\frac{k}{n}. \mathtt{C}_n^k = \frac{k.n !}{n.k !(n - k) !} = \frac{(n - 1) !}{(k - 1) ! (n - k) !} = \frac{(n - 1) !}{(k - 1) ! [(n - 1) - (k - 1)] !} = \mathtt{C}_{n - 1}^{k - 1}\)

   On en déduit immédiatement : \(k.\mathtt{C}_n^k = n.\mathtt{C}_{n - 1}^{k - 1}\).

2. Déterminons \(B_n(f_1) = \displaystyle \sum_{k=0}^n \mathtt{C}_n^k. \frac{k}{n}.X^k(1 - X)^{n - k}\)

   Pour n \(\geqslant\) 2 :

   \(B_n(f_1) = \displaystyle \sum_{k=0}^n \mathtt{C}_n^k. \frac{k}{n}.X^k(1 - X)^{n - k}\)

   \(= \displaystyle \sum_{k=1}^n \mathtt{C}_n^k. \frac{k}{n}.X^k(1 - X)^{n - k}\) (suppression du terme nul pour k=0)

   \(= \displaystyle \sum_{k=1}^n \mathtt{C}_{n-1}^{k-1}.X^k(1 - X)^{n - k}\) (relation du 2a)

   \(= \displaystyle \sum_{k=1}^n \mathtt{C}_{n-1}^{k-1}.X^k(1 - X)^{n - 1 - (k - 1)}\)

   \(= \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \mathtt{C}_{n-1}^k.X^{k+1}(1 - X)^{n - 1 - k }\) (changement d'indice)

   \(= X \left( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \mathtt{C}_{n-1}^k.X^k(1 - X)^{n - 1 - k } \right)\)

   \(= XB_{n-1}(f_0)\)

   =X

   On peut vérifier que\(B_1(f_1) =  \displaystyle \sum_{k=0}^1 \mathtt{C}_1^k. \frac{k}{1}.X^k(1 - X)^{1 - k} = X\) (le seul terme non nul étant obtenu pour k = 1).

3. De la même façon, pour n \(\geqslant\) 2 :

   \(B_n(f_2) = \displaystyle \sum_{k=0}^n \mathtt{C}_n^k. \left(\frac{k}{n} \right)^2.X^k(1 - X)^{n - k} \)

   \(= \displaystyle \sum_{k=1}^n \mathtt{C}_n^k. \left(\frac{k}{n} \right)^2.X^k(1 - X)^{n - k} \) (suppression du terme nul pour k=0)

   \(= \displaystyle \sum_{k=1}^n. \frac{k}{n}.\mathtt{C}_{n-1}^{k-1}.X^k(1 - X)^{n - k} \) (relation du 2a)

   \(= \displaystyle \sum_{k=1}^n. \frac{k}{n}.\mathtt{C}_{n-1}^{k-1}. X^k(1 - X)^{n - 1- (k-1)} \)

   \(= \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}. \frac{k+1}{n}.\mathtt{C}_{n-1}^{k} .X^{k+1}(1 - X)^{n - 1- k}\)  (changement d'indice)

   \(= \frac{X}{n} \left(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}. (k+1).\mathtt{C}_{n-1}^{k} .X^{k}(1 - X)^{n - 1- k} \right)\) 

   \(= \frac{X}{n} \left(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}. k.\mathtt{C}_{n-1}^{k} .X^{k}(1 - X)^{n - 1- k} +\sum_{k=0}^{n-1}\mathtt{C}_{n-1}^{k} .X^{k}(1 - X)^{n - 1- k} \right)\) 

   \(= \frac{X}{n} [(n - 1)B_{n-1}(f_1) + B_{n-1}(f_0)]\) 

   \(= \frac{X}{n} [(n - 1)X + 1]\) 

   \(= X^2 + \frac{X(1 - X)}{n}\) 

   Il reste à vérifier cette relation pour n = 1 :

   \(B_1(f_2) = \displaystyle \sum_{k=0}^2 \mathtt{C}_2^k. \left( \frac{k}{2}\right)^2 X^k(1 - X)^{2 - k} = \frac{2}{4}X(1 - X) + X^2 = X^2 + \frac{X(1 - X)}{2}\)

   La relation est donc bien vérifiée.

   Récapitulons : Soit n\( \in \mathbb{N^*}\) , \(B_n(f_0)\) = 1 , \(B_n(f_1)\) = X , \(B_n(f_2) = X^2 +\frac{X(1 - X)}{n}\)

Soit x \(\in\) [0, 1] :

\(\displaystyle \sum_{k=0}^n\mathtt{C}_n^k \left( \frac{k}{n} - X\right)^2 X^k(1 - X)^{n-k}= \displaystyle \sum_{k=0}^n\mathtt{C}_n^k \left( \frac{k^2}{n^2} - \frac{2kX}{n} + X^2 \right) X^k(1 - X)^{n-k} = B_n(f_2) - 2X.B_n(f_1) + X^2.B_n(f_0)\) (en réorganisant l'expression)

\(=X^2 + \frac{X(1 - X)}{n} - 2X^2 + X^2\)

\(=\frac{X(1 - X)}{n}\)

On obtient bien :

\(\forall x \in [0 , 1], \displaystyle \sum_{k=0}^n\mathtt{C}_n^k \left( \frac{k}{n} - x\right)^2 x^k(1 - x)^{n-k} =\frac{x(1 - x)}{n}\)

Soit k \(\in A_n\), alors \( |\frac{k}{n}- t| \leqslant \alpha\) , donc \(\frac{\left( \frac{k}{n}- t \right)^2}{\alpha^2} \geqslant 1\)

Donc :

\(0 \leqslant \displaystyle \sum_{k \in A_n} \mathtt{C}_n^k t^k (1 - t)^{n-k} \leqslant \displaystyle \sum_{k \in A_n} \mathtt{C}_n^k t^k (1 - t)^{n-k}.\frac{\left( \frac{k}{n}- t \right)^2}{\alpha^2}\)

\(\leqslant \frac{1}{\alpha^2}\displaystyle \sum_{k \in A_n} \mathtt{C}_n^k \left( \frac{k}{n} - t \right)^2 t^k (1 - t)^{n-k}.\)

\(\leqslant \frac{1}{\alpha^2}\displaystyle \sum_{k=0}^n \mathtt{C}_n^k \left( \frac{k}{n} - t \right)^2 t^k (1 - t)^{n-k}.\)

\(\leqslant \frac{x(1 - x)}{\alpha^2n}\) (d'après 2)

\(\leqslant \frac{1}{4\alpha^2n}\) car, pour tout x de [0,1], x (1- x ) \(\leqslant \frac{1}{4}\).

\(\displaystyle \sum_{k \in A_n} \mathtt{C}_n^k t^k (1 - t)^{n-k}.\frac{\left( \frac{k}{n}- t \right)^2}{\alpha^2}\)

Montrons que la suite (\(B_n(f )\)) converge uniformément vers f sur [0, 1].

Soit\( \varepsilon\) > 0. f étant continue sur [0, 1], f est uniformément continue sur [0, 1] et on peut donc trouver un réel \(\alpha\) > 0, tel que :

\(\forall (x , y) \in [0 , 1]^2, |f(x) - f(y)| < \frac{\varepsilon}{2}\) (3)

En notant que \(f (x) = f (x) .B_n(f_0) = \displaystyle \sum_{k=0}^n \mathtt{C}_n^k.f(x).X^k(1 - X)^{n-k}\)

on peut alors écrire \(B_n(f )(x)- f (x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n \mathtt{C}_n^k. \left( f \left( \frac{k}{n} \right) - f(x)\right). x^k(1 - x)^{n-k}\) .

À partir du nombre \(\alpha\) défini précédemment, nous définissons l'ensemble d'indice \(A_n\) comme en (3).

Nous allons séparer cette somme en distinguant les indices k qui sont dans \(A_n\) des autres :

\(| B_n(f )(x) - f (x)| = \bigg | \displaystyle \sum_{k \in A_n} \mathtt{C}_n^k \left( f \left(\frac{k}{n}\right) - f(x) \right).x^k(1 - x)^{n-k} + \displaystyle \sum_{k \notin A_n} \mathtt{C}_n^k \left( f \left(\frac{k}{n}\right) - f(x) \right).x^k(1 - x)^{n-k} \bigg | \leqslant \bigg | \displaystyle \sum_{k \in A_n} \mathtt{C}_n^k \left( f \left(\frac{k}{n}\right) - f(x) \right).x^k(1 - x)^{n-k} \bigg | + \bigg | \displaystyle \sum_{k \notin A_n} \mathtt{C}_n^k \left( f \left(\frac{k}{n}\right) - f(x) \right).x^k(1 - x)^{n-k} \bigg |\)

D'après 3, la première somme se majore par \(\frac{1}{4\alpha^2n}\) .

Cette suite converge vers 0, il existe donc un rang n₀ à partir duquel :  0 < \(\frac{1}{4\alpha^2n}\) < \(\frac{\varepsilon}{2}\).

Pour la 2e somme, k \(\notin A_n\), donc \(\bigg | \frac{k}{n} - t \bigg| < \alpha\) , donc par continuité uniforme sur [0, 1], on a\( | f(x) - f \left( \frac{k}{n} \right)| < \frac{\varepsilon}{2}\)

Récapitulons.

\(\forall \varepsilon > 0, \exists \textrm{ }n_0 \in \mathbb{N}, \forall n\geqslant n_0, \forall x \in [0,1], |B_n(f )(x)- f (x )|< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.\)

La suite (\(B_n(f )\)) converge donc uniformément vers f sur [0, 1].

Soit f continue sur [a, b].

Considérons la bijection \(\phi\) de [a, b] sur [0, 1] : \(\phi = \left \{ \begin{array}{ccc} [a , b]& \rightarrow & [0 , 1]\\ x & \rightarrow & \frac{x - a}{b - a} \end{array} \right.\)

Sa bijection réciproque est : \(\phi^{-1} =\left \{ \begin{array}{ccc} [0 , 1] & \rightarrow & [a , b] \\ x & \rightarrow & (b - a)x + a \end{array} \right.\)

Posons g = f \(o \textrm{ }\phi^{-1}\) , on a immédiatement f = g \(o \textrm{ }\phi\) .

\(\phi^{-1}\) étant continue, g est bien une fonction continue définie sur [0, 1].

D'après la question précédente, g est limite uniforme sur [0, 1] d'une suite de fonctions polynômes \(B_n(g)\) : \(B_n(g )(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n \mathtt{C}_n^k. g \left(\frac{k}{n}\right) x^k(1 - x)^{n - k}\)

Posons \(C_n(f )(x) = B_n(g)(\phi(x))\).

On remarque que \(C_n\) est encore une fonction polynôme, définie cette fois sur [a, b].

Soit \(x \in [a, b], \bigg |f (x) - C_n(f )(x) \bigg| = \bigg |g \textrm{ } o \textrm{ } \phi(x )- B_n(g ) (\phi(x) ) \bigg|= \bigg| ( g - B_n(g ) ) (\phi(x )) \bigg|\)

\(M_n = \underset{x \in [a, b]}{sup} \bigg \{ | f(x) - C_n(f)(x)| \bigg \} = \underset{y \in [0, 1]}{sup} \bigg \{ | g(y) - C_n(g)(y)| \bigg \} \)puisque \(\phi\) est une bijection de [a, b] sur [0, 1].

La suite (\(M_n\)) converge vers 0 puisque la suite (\(B_n(g)\)) converge uniformément vers g sur [0, 1].

La suite (\(C_n(f )\)) est donc une suite de fonctions polynômes convergeant uniformément vers f sur [a, b].