Séries de fonctions

Une série numérique est définie par sommation à partir d'une suite numérique : on commence par former la suite des sommes partielles et, étudier la convergence de la série, c'est par définition étudier la convergence de la suite numérique des sommes partielles.

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un même ensemble \(I\), on peut définir leur somme \(f + g\) qui est encore une fonction définie sur \(I\) par : \(\forall x \in I~~(f + g)(x) = f (x) + g(x)\).

Comme pour les séries numériques, nous allons de même procéder par sommes successives pour obtenir, à partir d'une suite (\(f_{n}\)) de fonctions, la série de fonctions \(\left( \sum{f_{n}}\right)\).

Pour étudier la série \(\left( \sum{f_{n}}\right)\), nous définirons la suite (\(S_{n}\)) des sommes partielles : \(S_{n} =\overset{n}{\underset{k = 1}{\sum}}{f_{n}}\).

(\(S_{n}\)) est une suite de fonctions, dont nous savons (voir le chapitre sur les suites de fonctions), définir et étudier la convergence simple ou uniforme.