Exercice 20

Partie

Question

  1. Étudier la convergence normale et uniforme sur \(R^{*}_{+}\) de la série de fonctions ( \(\sum f_{n}\) )définies par : \(f_{n}(x) = \frac{1}{1+n^{2}x}\).

  2. Étudier la continuité de la somme.

Aide simple

On a vu à l'exercice 4 que la série \(\left( \sum \frac{1}{1 + n^{2}x}\right)\) converge simplement sur \(]0,+\infty[\).

Pour la convergence uniforme, penser à regarder la limite de la somme.

Solution détaillée

  1. La série converge simplement sur \(]0, +\infty[\) (voir exercice 4).

    1. Sur \(]0, +\infty[\), la série ne peut converger uniformément sinon on pourrait appliquer le théorème d'interversion des limites ; or, pour tout \(n\), \(\underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~\left( \frac{1}{1+n^{2}x} \right) = 1\);

      la somme \(S\) admettrait alors en 0 une limite qui serait la série numérique des limites en 0 de chaque terme.

      Mais la série \(\left( \sum \underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}} \left( \frac{1}{1+n^{2}x} \right) \right)\) ne converge pas puisque chaque terme vaut 1.

    2. Le problème étant en 0, regardons la convergence uniforme de la série sur un intervalle du type \([a,+\infty[\) avec \(a > 0\).

      Montrons que la série de fonctions converge normalement sur \([a,+\infty[\) :

      Cherchons s'il existe une série numérique convergente \((\sum a_{n})\) telle que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et pour tout \(x \in [a,+\infty[\), \(|f_{n}(x)| \leq a_{n}\).

      \(\underset{[a, +\infty[}{\textrm{sup}} \left| \frac{1}{1 + n^{2}x} \right| < \frac{1}{1 + n^{2}a}\);

      Or, \(a_{n} = \frac{1}{1+n^{2}a} \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{n^{2} a}\)

    Donc la convergence de la série est normale donc uniforme sur tout tout intervalle du type \([a, +\infty[\).

  2. Continuité de la somme.

    Les fonctions \(f_{n}\) sont continues sur tout intervalle \([a,+\infty[\) avec \(a > 0\).

    La convergence de la série étant uniforme sur ces intervalles, elle l'est a fortiori sur tout segment \([a, b]\) de \(]0,+\infty[\).

    La somme \(S(x) = \overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}} f_{n}(x)\) est continue sur tout fermé borné \([a, b]\) de \(]0,+\infty[\).

    D'après la version locale du théorème de continuité : "Soit (\(f_{n}\)) une suite d'applications continues d'un intervalle \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) ; si \(\left( \sum f_{n} \right)\) converge uniformément vers \(f\) sur tout intervalle fermé borné de \(I\), alors la somme de la série est continue sur \(I\).",

    ainsi, on peut conclure : \(S\) continue sur \(]0, +\infty[\).