Exercice 33

Partie

Dans tout l'exercice, \(u_{n}\) désigne la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(u_{n}(x) = xe^{-nx}\).

Question

Étude de la suite de fonctions \((u_{n})_{n \in \mathbb{N}}\)

  1. Déterminer la limite simple de la suite (\(u_{n}\)) et le plus grand ensemble \(I\) sur lequel la suite (\(u_{n}\)) converge simplement vers \(u\).

  2. La convergence de la suite (\(u_{n}\)) vers \(u\) est-elle uniforme sur \(I\) ?

Solution détaillée

    • Pour \(x > 0\), \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} e^{-nx}= 0\), donc \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} u_{n}(x) = 0\).

      \(u_{n}(0) = 0\), donc \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~u_{n}(0) = 0\).

    • Pour \(x < 0\), \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} e^{-nx} = +\infty\), donc \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} u_{n}(x) = -\infty\).

      Le plus grand ensemble \(I\) sur lequel la suite (\(u_{n}\)) converge est \(R^{+}\). Sa limite simple \(u\) est définie sur \(I\) par : \(u(x ) = 0\) ; si \(x > 0 : u(0) = 0\)

  2. La limite simple est la fonction nulle sur \(R^{+}\).

    La suite (\(u_{n}\)) converge simplement vers \(u\) sur \(R^{+}\) si et seulement si la suite (\(m_{n}\)) converge vers \(0\), avec \(m_{n} = \underset{x \in I}{\textrm{sup}}~|u_{n}(x)|\).

    L'étude des variations de \(u_{n}\) montre que cette fonction est croissante sur l'intervalle \(\left[0, \frac{1}{n} \right]\) et décroissante sur l'intervalle \(\left[ \frac{1}{n}, +\infty \right[\).

    Son maximum est donc \(m_{n} = u_{n}~\left( \frac{1}{n} \right) = \frac{e^{-1}}{n}\).

    \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~m_{n} = 0\), donc la suite converge uniformément sur \(R^{+}\).

Question

Étude de la série \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum}~u_{n}\right)\)

  1. Déterminer le plus grand ensemble \(D\) sur lequel la série \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum}~u_{n}\right)\) converge simplement.

    On note dans tout le reste de l'exercice : \(f(x) = \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}~u_{n}(x)\).

  2. La série \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum}~u_{n}\right)\) converge-t-elle normalement sur \(D\) ?

  3. Soit \(R_{n}(x ) = \overset{+\infty}{\underset{k=n+1}{\sum}} u_{k}(x)\), le reste d'ordre \(n\) de cette série.

    Déterminer une expression simple de \(R_{n}(x)\) à l'aide des fonctions usuelles, sans le symbole \(\sum\). Déterminer \(\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\textrm{lim}}~R_{n}(x)\).

    La série \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum}~u_{n}\right)\) converge-t-elle uniformément sur \(D\) ?

Solution détaillée

  1. La série de terme général \(u_{n}(x)\) est une série géométrique de raison \(e^{-nx}\) si \(x \neq 0\), c'est la série nulle si \(x = 0\) (évidemment convergente).

    En tant que série géométrique, elle converge si et seulement si sa raison est strictement inférieure à \(1\), soit si et seulement si \(x\) est strictement positif.

    La série \(\Big( \sum~u_{n} \Big)\) converge donc pour \(x \in D = R^{+}\).

  2. On a vu dans la première question que \(m_{n} = \underset{x \in \mathbb{R}^{+}}{\textrm{sup}}~|u_{n} (x )| = \frac{e^{-1}}{n}\).

    La série \(\Big( \sum~u_{n} \Big)\) diverge (série de Riemann), donc la série ne converge pas normalement sur \(R^{+}\).

  3. \(R_{n}(x) = \overset{+\infty}{\underset{k=n+1}{\sum}}~x~e^{-kx}\)

    \(R_{n}(x)\) est la somme d'une série géométrique de premier terme \(xe^{-(n+1)x}\) et de raison \(e^{-x}\).

    D'où, pour \(x > 0\) : \(R_{n}(x) = \frac{xe^{-(n+1)x}}{1 - e^{-x}}\) et \(R_{n}(0) = 0\).

    Au voisinage de \(0\) : \(1 - e^{-x} \sim x\), donc \(\underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~R_{n}(x) = \underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~e^{-(n+1)x} = 1\), d'où \(\underset{\mathbb{R}^{+}}{\textrm{sup}}~ |R_{n}(x)| \geq 1\)

    La suite (\(R_{n}\)) ne converge donc pas uniformément vers \(0\), la série \(\Big( \sum u_{n}\Big)_{n \in \mathbb{N}}\) ne converge pas uniformément sur \(D = R^{+}\).