Exercice 33 [Séries de fonctions]

Exercice 33

Dans tout l'exercice, $u_{n}$ désigne la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $u_{n}(x) = xe^{-nx}$ .

Étude de la suite de fonctions $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$

Déterminer la limite simple de la suite ( $u_{n}$ ) et le plus grand ensemble $I$ sur lequel la suite ( $u_{n}$ ) converge simplement vers $u$ .
La convergence de la suite ( $u_{n}$ ) vers $u$ est-elle uniforme sur $I$ ?

- Pour $x > 0$ , $\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} e^{-nx}= 0$ , donc $\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} u_{n}(x) = 0$ .
  $u_{n}(0) = 0$ , donc $\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~u_{n}(0) = 0$ .
- Pour $x < 0$ , $\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} e^{-nx} = +\infty$ , donc $\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} u_{n}(x) = -\infty$ .
  Le plus grand ensemble $I$ sur lequel la suite ( $u_{n}$ ) converge est $R^{+}$ . Sa limite simple $u$ est définie sur $I$ par : $u(x ) = 0$ ; si $x > 0 : u(0) = 0$
La limite simple est la fonction nulle sur $R^{+}$ .
La suite ( $u_{n}$ ) converge simplement vers $u$ sur $R^{+}$ si et seulement si la suite ( $m_{n}$ ) converge vers $0$ , avec $m_{n} = \underset{x \in I}{\textrm{sup}}~|u_{n}(x)|$ .
L'étude des variations de $u_{n}$ montre que cette fonction est croissante sur l'intervalle $\left[0, \frac{1}{n} \right]$ et décroissante sur l'intervalle $\left[ \frac{1}{n}, +\infty \right[$ .
Son maximum est donc $m_{n} = u_{n}~\left( \frac{1}{n} \right) = \frac{e^{-1}}{n}$ .
$\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~m_{n} = 0$ , donc la suite converge uniformément sur $R^{+}$ .

Étude de la série $\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum}~u_{n}\right)$

Déterminer le plus grand ensemble $D$ sur lequel la série $\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum}~u_{n}\right)$ converge simplement.
On note dans tout le reste de l'exercice : $f(x) = \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}~u_{n}(x)$ .
La série $\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum}~u_{n}\right)$ converge-t-elle normalement sur $D$ ?
Soit $R_{n}(x ) = \overset{+\infty}{\underset{k=n+1}{\sum}} u_{k}(x)$ , le reste d'ordre $n$ de cette série.
Déterminer une expression simple de $R_{n}(x)$ à l'aide des fonctions usuelles, sans le symbole $\sum$ . Déterminer $\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\textrm{lim}}~R_{n}(x)$ .
La série $\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum}~u_{n}\right)$ converge-t-elle uniformément sur $D$ ?

La série de terme général $u_{n}(x)$ est une série géométrique de raison $e^{-nx}$ si $x \neq 0$ , c'est la série nulle si $x = 0$ (évidemment convergente).
En tant que série géométrique, elle converge si et seulement si sa raison est strictement inférieure à $1$ , soit si et seulement si $x$ est strictement positif.
La série $\Big( \sum~u_{n} \Big)$ converge donc pour $x \in D = R^{+}$ .
On a vu dans la première question que $m_{n} = \underset{x \in \mathbb{R}^{+}}{\textrm{sup}}~|u_{n} (x )| = \frac{e^{-1}}{n}$ .
La série $\Big( \sum~u_{n} \Big)$ diverge (série de Riemann), donc la série ne converge pas normalement sur $R^{+}$ .
$R_{n}(x) = \overset{+\infty}{\underset{k=n+1}{\sum}}~x~e^{-kx}$
$R_{n}(x)$ est la somme d'une série géométrique de premier terme $xe^{-(n+1)x}$ et de raison $e^{-x}$ .
D'où, pour $x > 0$ : $R_{n}(x) = \frac{xe^{-(n+1)x}}{1 - e^{-x}}$ et $R_{n}(0) = 0$ .
Au voisinage de $0$ : $1 - e^{-x} \sim x$ , donc $\underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~R_{n}(x) = \underset{x \rightarrow 0}{\textrm{lim}}~e^{-(n+1)x} = 1$ , d'où $\underset{\mathbb{R}^{+}}{\textrm{sup}}~ |R_{n}(x)| \geq 1$
La suite ( $R_{n}$ ) ne converge donc pas uniformément vers $0$ , la série $\Big( \sum u_{n}\Big)_{n \in \mathbb{N}}$ ne converge pas uniformément sur $D = R^{+}$ .