Portraits de phase et points stationnaires

On considère un pendule constitué d'une petite bille au bout d'une fine tige rigide qui se déplace dans un plan vertical.

Notons \(\theta\) l'angle balayé par le pendule depuis une position d'équilibre (pendule vertical, en position basse).

Les positions d'équilibre sont donc obtenues pour \(\theta=2k\pi\) (position basse, équilibre stable) et pour \(\theta=2(k+1)\pi\) (position haute, équilibre instable).

En cas d'absence de frottement, on peut choisir les unités de façon que la loi de Newton \(F=ma\) se traduise par l'équation du second ordre \(\theta''= -\sin \theta\).

On peut introduire un frottement proportionnel à la vitesse angulaire (ce qui, en première approximation, correspond à la réalité physique) qui donnera alors l'équation (1) \(\theta'' = -\sin \theta - p\theta\)( le paramètre p est appelé coefficient de frottement).

Comme on a vu dans le cours, cette équation du second ordre peut se traduire par un système de deux équations du premier ordre

où \(\omega(t)\) représente la vitesse angulaire du pendule à l'instant \(t\).

La figure ci-dessous représente le portrait de phases de ce système. On peut cliquer sur la figure pour tracer de nouvelles trajectoires, et faire varier le paramètre \(p\)

(on peut même lui donner des valeurs négatives, ce qui ne correspond pas physiquement à un frottement !).

Ce système n'est pas linéaire (à cause de la présence du sinus) ; on peut cependant déterminer la nature des point stationnaires en étudiant le linéarisé du champ en ces points (voir la page Linéarisation dans cette même rubrique Observer).

Les points stationnaires correspondent dans le plan \((\theta,\omega)\) aux valeurs \(\theta=k\pi\), \(\omega=0\).

Pour \(k\) impair, on peut démontrer (faites-le !) que le point stationnaire est un col (les valeurs propres du champ linéarisé sont réelles, de signes opposés).

Pour \(k\) pair (et en particulier pour l'origine), la situation est plus compliquée :

• Si \(p = 0\), le point stationnaire est un centre.

• Si \(0 < p < 2\), c'est un foyer attractif, et si \(p > 2\) un noeud attractif.

• Si \(-2 < p < 0\), on a un foyer répulsif, et si \(p < -2\), un noeud répulsif. Remarquons que dans le cas fictif \(p < 0\), la position verticale basse correspond à un équilibre instable (et la position haute aussi) !

Essayer de repérer les différents types de trajectoires, et d'imaginer à quels mouvements du pendule correspond chacun de ces types.