Exercice 3 [Portraits de phase et points stationnaires]

Exercice 3

Partie

Question

Pour chacun des systèmes suivants, déterminer la nature (noeud^[1], col^[2], foyer^[3], attractif^[4] ou répulsif^[5]...) du point stationnaire à l'origine :

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & x+4y \\ y' & = & -2x+3y\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & 2x+y \\ y' & = & x+y\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & x+3y \\ y' & = & 2x+y\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & x-5y \\ y' & = & 5x-2y\end{array}\right.}\)

Solution détaillée

Le système\( \displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & x+4y \\ y' & = & -2x+3y\end{array}\right.}\) s'écrit \(\displaystyle{X'=\left(\begin{array}{cccccc}1 & 4\\-2 & 3\end{array}\right)X}\)

Le polynôme caractéristique de la matrice est \(\lambda^2-4\lambda+11\); le discriminant de ce polynôme est -28 donc négatif. La matrice possède donc deux valeurs propres complexes de partie réelle positive : l'origine est donc un foyer répulsif.

Le système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & 2x+y \\ y' & = & x+y\end{array}\right.}\) s'écrit \(\displaystyle{X'=\left(\begin{array}{cccccc}2 & 1\\1 & 1\end{array}\right)X}\)

Le polynôme caractéristique de la matrice est \(\lambda^2-3\lambda+1\); le discriminant de ce polynôme est 24 , donc positif. La matrice possède donc deux valeurs propres réelles positives : l'origine est donc un nœud répulsif.

Le système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & x+3y \\ y' & = & 2x+y\end{array}\right.}\) s'écrit \(\displaystyle{X'=\left(\begin{array}{cccccc}1 & 3\\2 & 1\end{array}\right)X}\)

Le polynôme caractéristique de la matrice est \(\lambda^2-2\lambda-5\); La matrice possède donc deux valeurs propres réelles de signes contraires : l'origine est donc un col.

Le système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & x-5y \\ y' & = & 5x-2y\end{array}\right.}\) s'écrit \(\displaystyle{X'=\left(\begin{array}{cccccc}1 & -5\\5 & -2\end{array}\right)X}\)

Le polynôme caractéristique de la matrice est \(\lambda^{2}+\lambda-23\); le discriminant de ce polynôme est négatif. La matrice possède donc deux valeurs propres complexes de partie réelle négative : l'origine est donc un foyer attractif.

Dans la figure ci-dessous, choisissez le système, parmi les 4 que l'on vient d'étudier. Le champ s'affiche.

Cliquez sur la figure pour tracer des trajectoires.

Notes

Noeud
Etant donné un système linéaire de dimension 2, de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un noeud si la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)}\) possède deux valeurs propres réelles non nulles de même signe.
On dit que le noeud est attractif si les valeurs propres sont négatives, répulsif si elles sont positives. Les trajectoires sont parcourues vers \(O\) si le noeud est attractif, depuis \(O\) s'il est répulsif.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un noeud si le linéarisé du système au point \(M\) possède un noeud à l'origine.
Col
Etant donné un système linéaire de dimension 2, de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un col si les valeurs propres de la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)}\)
sont réelles non nulles, de signes opposés.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un col si le linéarisé du système au point \(M\) possède un col à l'origine.
Foyer
Etant donné un système linéaire de dimension 2 de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un foyer si la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)}\) possède deux valeurs propres complexes conjuguées, qui ne sont ni réelles, ni imaginaires pures.
On dit que le foyer est attractif si la partie réelle commune des deux valeurs propres est négative, répulsif si cete partie réelle est positive. Les trajectoires sont des spirales autour de l'origine \(O\), parcourues vers \(O\) si le foyer est attractif, depuis \(O\) s'il est répulsif.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un foyer si le linéarisé du système au point \(M\) possède un foyer à l'origine.
Attractif
Voir foyer et noeud.
Répulsif
Voir foyer et noeud.