Méthode des courants de maille

Une fois qu'on a déterminé m mailles indépendantes (par la méthode du squelette, par exemple), on attribue à chacune un courant de maille de sens arbitraire. On écrit ensuite les équations de maille avec la convention suivante :

Règle

Quand une branche appartient à plusieurs mailles, le courant dans cette branche est la somme algébrique des ces courants de maille.

Exemple

Dans le réseau ci-dessus, pour calculer l' intensité[1] du courant traversant l'élément de résistance[2] \(R_4\), on peut procéder comme suit :

  • on cherche un squelette du circuit ; comme il n'y a que deux noeuds, chacune des branches peut être prise comme squelette; puisqu'on cherche l'intensité dans \(R_4\), il y a intérêt à ce que ce soit une des inconnues du système ; il faut donc prendre comme squelette une des autres branches, par exemple celle de gauche.

  • en ajoutant la branche centrale au squelette, on obtient une première maille indépendante, parcourue par un courant de maille d'intensité \(I_4\), dans le sens des aiguilles d'une montre.

  • en ajoutant la branche de droite au squelette, on obtient une deuxième maille indépendante, parcourue par un courant de maille d'intensité \(I_2\), dans le sens des aiguilles d'une montre.

  • le squelette appartient aux deux mailles : il est donc parcouru par les deux courants de maille ; avec la convention de sens choisie, les intensités s'ajoutent.

  • il faut maintenant écrire les équations de maille :

Première maille :

\(\displaystyle{{E}_{{1}}-{\left({r}_{{1}}+{R}_{{3}}\right)}.{\left({I}_{{2}}+{I}_{{4}}\right)}-{R}_{{4}}.{I}_{{4}}={0}}\)

Deuxième maille :

\(\displaystyle{{E}_{{1}}-{\left({r}_{{1}}+{R}_{{3}}\right)}.{\left({I}_{{2}}+{I}_{{4}}\right)}-{r}_{{2}}.{I}_{{2}}-{E}_{{2}}={0}}\)

qui conduisent à un système de deux équations à deux inconnues :

\(\displaystyle{{\left({r}_{{1}}+{R}_{{3}}\right)}.{I}_{{2}}+{\left({r}_{{1}}+{R}_{{3}}+{R}_{{4}}\right)}.{I}_{{4}}={E}_{{1}}}\)

\(\displaystyle{{\left({r}_{{1}}+{r}_{{2}}+{R}_{{3}}\right)}.{I}_{{2}}+{\left({r}_{{1}}+{R}_{{3}}\right)}.{I}_{{4}}={E}_{{1}}-{E}_{{2}}}\)

ayant pour solution :

\(\displaystyle{{I}_{{4}}=\frac{{{E}_{{1}}.{r}_{{2}}+{E}_{{2}}.{\left({r}_{{1}}+{R}_{{3}}\right)}}}{{{r}_{{1}}{r}_{{2}}+{r}_{{1}}{R}_{{4}}+{r}_{{2}}{R}_{{3}}+{r}_{{2}}{R}_{{4}}+{r}_{{3}}{R}_{{4}}}}}\)