Méthode des potentiels de noeud
Durée : 10 mn
Note maximale : 5
Question
Calculer le potentiel électrique au nœud \(C\), le nœud \(A\) étant pris comme origine, en utilisant la méthode des potentiels de nœud de Maxwell.
Données : \(E = 10 \mathrm{ V}\) ; \(r = 100 \mathrm{ } \Omega\) ; \(R_1 = 200 \mathrm{ } \Omega\) ; \(R_2 = 100 \mathrm{ } \Omega\) ; \(R_3 = 100 \mathrm{ } \Omega\) ; \(R_4 = 200 \mathrm{ } \Omega\) ; \(R_5 = 100 \mathrm{ } \Omega\).
Solution
Les intensités dans chacune des branches s'expriment en fonction des potentiels de nœud, avec \(V_A = 0\).
Branche \(AB\) :
\(V_A - V_B = E - r . I\) ; \(\displaystyle{ I = \frac{E - V_B}{r} = g.(E - V_B) }\)
Branche \(AC\) :
\(V_C - V_A = R_1 . I_1\) ; \(\displaystyle{ I_1 = \frac{V_C}{R_1} = G_1 . V_C }\)
Branche \(BC\) :
\(V_B - V_C = R_2 . I_2\) ; \(\displaystyle{ I_2 = \frac{V_B - V_C}{R_2} = G_2 . (V_B - V_C) }\)
Branche \(AD\) :
\(V_D - V_A= R_3 . I_3\) ; \(\displaystyle{ I_3 = \frac{V_D}{R_3} = G_3 . V_D }\)
Branche \(BD\) :
\(V_B - V_D= R_4 . I_4\) ; \(\displaystyle{ I_4 = \frac{V_B - V_D}{R_4} = G_4 . (V_B - V_D) }\)
Branche \(CD\) :
\(V_C - V_D= R_5 . I_5\) ; \(\displaystyle{ I_5 = \frac{V_C - V_D}{R_5} = G_5 . (V_C - V_D) }\)
Remarque : le sens choisi pour \(I_5\) est arbitraire. (2 pts)
L'application de la loi aux nœuds donne :
- en \(B\) : \(I = I_2 + I_4\)
\(g . (E - V_B) = G_2 . (V_B - V_C) + G_4 . (V_B - V_D)\)
- en \(C\) : \(I_2 = I_1 + I_5\)
\(G_2 . (V_B-V_C) = G_1 . V_C+G_5 . (V_C-V_D)\)
- en \(D\) : \(I_4 + I_5 = I_3\)
\(G_4 . (V_B-V_D)+G_5 . (V_C+V_D) = G_3 . V_D\)
Après développement et mise en facteur, il vient :
\((g+G_2+G_4) . V_B-G_2 . V_C-G_4 . V_D = g . E\) \((1)\)
\(- G_2 . V_B + (G_1+G_2+G_5) . V_C +G_5 . V_D = 0\) \((2)\)
\(- G_ 4 . V_B - G_5 . V_C + (G_3 + G_4+G_5) . V_D = 0\) \((3)\)
Pour calculer \(V_C\), 2 méthodes sont possibles :
- exprimer \(V_B\) et \(V_D\) en fonction de \(V_C\) en utilisant les équations \((2)\) et \((3)\), et reporter ces expressions dans \((1)\) [méthode de substitution]
- écrire le système d'équations sous forme matricielle [méthode de Kramer].
Les deux méthodes conduisent à : \(\displaystyle{ V_C = E * \frac{9}{36} = \mathrm{2,5 V} }\) (3 pts)