Méthode des potentiels de noeud [Analyse des réseaux linéaires]

Méthode des potentiels de noeud

Durée : 10 mn

Note maximale : 5

Question

Calculer le potentiel électrique au nœud $C$ , le nœud $A$ étant pris comme origine, en utilisant la méthode des potentiels de nœud de Maxwell.

Données : $E = 10 \mathrm{ V}$ ; $r = 100 \mathrm{ } \Omega$ ; $R_1 = 200 \mathrm{ } \Omega$ ; $R_2 = 100 \mathrm{ } \Omega$ ; $R_3 = 100 \mathrm{ } \Omega$ ; $R_4 = 200 \mathrm{ } \Omega$ ; $R_5 = 100 \mathrm{ } \Omega$ .

Solution

Les intensités dans chacune des branches s'expriment en fonction des potentiels de nœud, avec $V_A = 0$ .

Branche $AB$ :

$V_A - V_B = E - r . I$ ; $\displaystyle{ I = \frac{E - V_B}{r} = g.(E - V_B) }$

Branche $AC$ :

$V_C - V_A = R_1 . I_1$ ; $\displaystyle{ I_1 = \frac{V_C}{R_1} = G_1 . V_C }$

Branche $BC$ :

$V_B - V_C = R_2 . I_2$ ; $\displaystyle{ I_2 = \frac{V_B - V_C}{R_2} = G_2 . (V_B - V_C) }$

Branche $AD$ :

$V_D - V_A= R_3 . I_3$ ; $\displaystyle{ I_3 = \frac{V_D}{R_3} = G_3 . V_D }$

Branche $BD$ :

$V_B - V_D= R_4 . I_4$ ; $\displaystyle{ I_4 = \frac{V_B - V_D}{R_4} = G_4 . (V_B - V_D) }$

Branche $CD$ :

$V_C - V_D= R_5 . I_5$ ; $\displaystyle{ I_5 = \frac{V_C - V_D}{R_5} = G_5 . (V_C - V_D) }$

Remarque : le sens choisi pour $I_5$ est arbitraire. (2 pts)

L'application de la loi aux nœuds donne :

- en $B$ : $I = I_2 + I_4$

$g . (E - V_B) = G_2 . (V_B - V_C) + G_4 . (V_B - V_D)$

- en $C$ : $I_2 = I_1 + I_5$

$G_2 . (V_B-V_C) = G_1 . V_C+G_5 . (V_C-V_D)$

- en $D$ : $I_4 + I_5 = I_3$

$G_4 . (V_B-V_D)+G_5 . (V_C+V_D) = G_3 . V_D$

Après développement et mise en facteur, il vient :

$(g+G_2+G_4) . V_B-G_2 . V_C-G_4 . V_D = g . E$ $(1)$

$- G_2 . V_B + (G_1+G_2+G_5) . V_C +G_5 . V_D = 0$ $(2)$

$- G_ 4 . V_B - G_5 . V_C + (G_3 + G_4+G_5) . V_D = 0$ $(3)$

Pour calculer $V_C$ , 2 méthodes sont possibles :

- exprimer $V_B$ et $V_D$ en fonction de $V_C$ en utilisant les équations $(2)$ et $(3)$ , et reporter ces expressions dans $(1)$ [méthode de substitution]

- écrire le système d'équations sous forme matricielle [méthode de Kramer].

Les deux méthodes conduisent à : $\displaystyle{ V_C = E * \frac{9}{36} = \mathrm{2,5 V} }$ (3 pts)