Méthode des potentiels des courants de maille
Durée : 15 mn
Note maximale : 6
Question
Calculer l'intensité du courant débité par le générateur, par la méthode des courants de maille.
Données : \(E = 12 \mathrm{ V}\) ; \(r = 50 \mathrm{ } \Omega\) ; \(R_1 = 100 \mathrm{ } \Omega\) ; \(R_2 = 200 \mathrm{ } \Omega\) ; \(R_3 = 300 \mathrm{ } \Omega\) ; \(R_4 = 400 \mathrm{ } \Omega\) ; \(R_5 = 500 \mathrm{ } \Omega\) .
Solution
Le réseau comporte \(4\) nœuds \(A,\) \(B,\) \(C,\) \(D\) et \(6\) branches (\(AB,\) \(AC,\) \(AD,\) \(BC,\) \(BD,\) \(CD\)) donc :
\(6-4+1 = 3 \textrm{ mailles ind\'ependantes}\) (1 pt)
Puisqu'on veut calculer le courant débité par le générateur, il faut choisir les mailles pour que cette intensité soit une des inconnues. (1 pt)
Le choix le plus simple est celui des mailles \(ACDA\), \(BDCB\), \(ABDA\).
Soient \(I_1,\) \(I_2,\) \(I_3\) les intensités des courants de maille.
D'après les sens indiqués sur la figure, l'application de la loi des mailles donne :
Maille \(ACDA\) : \(R_1 . I_1+R_5 . (I_1-I_2)+R_3 . (I_1-I_3) = 0\)
Maille \(BDCB\) : \(R_4 . (I_2-I_3)+R_5 . (I_2 - I_1)+R_2 . I_2 = 0\)
Maille \(ABDA\) : \(E - r . I_3+R_4 . (I_2-I_3)+R_3 . (I_1-I_3) = 0\)
Ce qui conduit aux 3 équations :
\((R_1+R_2+R_5) . I_1-R_5 . I_2-R_3 . I_3 = 0\) \((1)\)
\(- R_5 . I_1 + (R_2+R_4+R_5) . I_2 - R_4 . I_3 = 0\) \((2)\)
\(- R_3 . I_1 - R_4 . I_2 + (r+R_3+R_4) . I_3 = E\) \((3)\)
Pour calculer \(I_3\), on a le choix entre :
- exprimer \(I_1\) et \(I_2\) en fonction de \(I_3\) à partir de \((1)\) et \((2)\) et reporter ces expressions dans \((3)\) [méthode de substitution]
- écrire le système d'équations sous forme matricielle [méthode de Kramer].
Les deux méthodes donnent :
\(\displaystyle{ I_3 = E * \frac{124}{30000} = \mathrm{49,6 mA} }\). (4 pts)