Travail Pratique : 2. Cohérence spatiale
L'expérience des fentes d'Young est simulée. Comme dans le TP 1, la modélisation utilise la superposition de deux ondes cohérentes considérées comme planes. La cohérence provient du fait qu'elles sont issues d'une même source. Chaque onde passe par une fente secondaire. Le plan de ces fentes secondaires est très éloigné de l'écran d'observation. Ainsi la portion de surface d'onde, cylindrique, peut-être considérée comme plane dans un espace restreint sur l'écran. La différence de phase entre les deux ondes atteignant le point \(M\) de l'écran ne dépend que de la longueur du trajet optique. C'est un terme géométrique indépendant du temps.
Lorsque la largeur \(B\) de la fente source, éclairée par une lampe spectrale, augmente, elle est alors constituée de sources incohérentes, considérée comme une succession de fentes fines qui produisent chacune leur propre système de franges. Selon la " cohérence spatiale " de ces systèmes de franges, on observera un système de franges global plus ou moins brouillé.
Du fait qu'il n'est pas tenu compte d'une longueur de cohérence temporelle (autre travail pratique) toutes les franges brillantes ont la même intensité. C'est plutôt le contraste entre les franges brillantes et sombres qui traduit expérimentalement la notion de cohérence spatiale. Ce contraste dépend de la largeur de la fente source. Un coefficient de contraste visuel (formulé par Michelson) est ainsi défini en fonction de l'intensité maximale d'un frange brillante (\(IMax\)) et l'intensité mimimale de la frange sombre voisine (\(Imin\)) sous la forme :
\(C = \frac{IMax ~ - ~ Imin}{IMax ~ + ~ Imin}\)
Pour effectuer une mesure, vous pouvez provoquer l'apparition d'un repère horizontal sur la régle millimétrée, par un "click" de souris à l'endroit que vous souhaitez repérer sur la zone écran, sur le graphe ou même sur la règle.
Description de l'applet d'étalonnage.
Sur le panneau "Schema", on observe les traces des fentes secondaires séparées d'une distance \(d\) variable. Elles sont éclairées par une fente source (monochromatique longueur d'onde variable \(\lambda\) = lambda) de largeur variable \(B\). Sur le schéma, les proportions ne sont pas respectées, il faut imaginer la fente de largeur variable \(B\), nettement plus éloignée du plan des deux fentes. La trace d'un écran parallèle aux plans des fentes est reproduite.
Un panneau "Ecran" permet d'observer les interférences. L'échelle de cette figure est donnée par le panneau reproduisant une règle millimétrée. La distance \(L\) entre l'écran et le plan des deux fentes est réglable.
Le panneau de droite "graphe" correspond à l'intensité relative \(I'(M)\) pour tout point \(M\) de l'écran, rapportée à l'intensité au centre \(O\) de la figure d'interférences \(I(O)\) lorsque le contraste vaut 1. Grâce à cette normalisation les repères verticaux donnent la position des maxima (rouge) et minima (vert) sur une échelle graduée de 0 à 1.
Observer.
Faire varier les paramètres proposés. Observer qualitativement les modifications des différents panneaux de l'applet.
A . Théorie
Une fente excentrée de la quantité \(h\) de l'axe de symétrie du dispositif, produit une figure d'interférences semblable à la figure d'interférences obtenue avec la source principale sur l'axe de symétrie, celle-ci ayant subie une translation (voir l'activité simuler).
L'expression de l'intensité au point \(M\) de coordonnée \(x\) (origine au centre de l'écran) est de la forme :
\(\frac{I(x,h)}{I(O)} =\frac{1}{2}\bigg(1 + \cos \bigg( \frac{2 \pi d}{\lambda} \Big( \frac{h}{D} + \frac{x}{L} \Big) \bigg) \bigg)\)
Lorsque la fente source a une largeur \(B\), l'intensité au point \(M\) est obtenue en intégrant l'expression précédente sur l'intervalle \(-B/2\), \(+B/2\). L'intégration effectuée fournit :
\(\frac{I'(M)}{I(O)} = \frac{1}{2} \bigg( 1 + \frac{\sin u}{u} \cos \Big( \frac{2 \pi d x}{\lambda L} \Big) \bigg)\) avec \(u = \frac{\pi d B}{\lambda D}\)
Le calcul du facteur de contraste visuel \(C\) (les valeurs \(IMax\) et \(Imin\) étant respectivement associées aux valeurs \(+1\) et \(-1\) de la fonction cosinus) conduit à : \(C = sin(u)/u\). \(C\) se confond au facteur de visibilité défini par la relation \(V = sin(u)/u\).
L'étude de la fonction \(\sin(u) / u\) montre que l'on obtient son maximum pour \(u = 0\) et la première valeur nulle lorsque \(u = \pi\), soit lorsque \(d B / \lambda D=1\). Pour cette valeur particulière de \(u\), on obtient une valeur particulière de \(B\) que l'on nomme longueur de cohérence spatiale (\(l_s\)). L'objectif de ce travail est de donner une signification physique à \(l_s\).
B . Observations
Conserver les paramètres initiaux (Lambda = \(760 ~ \mathrm{nm}\), \(B = 0,2 ~ \mathrm{mm}\), \(L = 5 ~ \mathrm{m}\)). Augmenter progressivement la distance \(d\) jusqu'à sa valeur maximale. Observer l'évolution de l'écran et celle du graphe. On observe que les repères de l'intensité maximale et minimale ne sont pas modifiés : le contraste \(C\) reste maximal.
Choisir maintenant la valeur \(B = 1 ~ \mathrm{mm}\) et augmenter progressivement la distance \(d\) jusqu'à sa valeur maximale. Noter l'évolution des repères verticaux.
Conserver la valeur \(B = 1 ~ \mathrm{mm}\) et la distance \(d\) maximale. Diminuer progressivement la longueur d'onde. Noter l'évolution des repères verticaux. Par ailleurs faites apparaître le repère horizontal sur la règle en pointant le centre de l'écran. Faites varier à nouveau la longueur d'onde et observer l'évolution de l'intensité au centre de l'écran marqué par le repère horizontal.
Conserver la valeur \(B = 1 ~ \mathrm{mm}\) et la distance \(d\). Faire varier \(L\). Les repères horizontaux varient-ils ?
Conclusion :
De quels paramètres dépend le contraste visuel des franges d'interférences dans ce dispositif ?
C . Étude quantitative
1 - Prendre les valeurs suivantes : \(500 ~ \mathrm{nm}\) pour la longueur d'onde et \(B\) égale à \(1,2 ~ \mathrm{mm}\). Déterminer \(C\) en mesurant \(IMax/I(O)\) et \(Imin/I(O)\) lorsque \(d\) a la valeur minimale puis lorsque \(d\) est maximale. Pour chacune de ces deux valeurs de \(d\), évaluer le rapport \(D \lambda / B d\) correspondant.
On définit le rapport précédent comme le rapport de la longueur de cohérence spatiale sur la largeur de la fente soit :
\(l_s/B = D \lambda / B d\)
Compte tenu de la définition de la longueur de cohérence spatiale, ce rapport vaut 1 lorsque le contraste est nul (soit ici pour \(d = 4,17 ~ \mathrm{mm}\)). Observez-le sur l'écran. Comparer les trois valeurs de ce rapport. Proposer une définition de la longueur de cohérence spatiale.
2 - Observer l'intensité du point \(O\) lorsque la distance \(d\) évolue du minimum au maximum. Pourquoi la frange centrale brillante devient-elle une frange sombre ?
3 - Utiliser la valeur maximale du paramètre \(B\), la valeur minimale de \(d\) et la valeur minimale de la longueur d'onde. Augmenter progressivement la distance \(d\). Noter les valeurs spécifiques de \(d\) qui provoquent l'inversion frange brillante \(\leftrightarrow\) frange sombre. Pouviez-vous prévoir ce résultat?