Règle des 3 doigts
Partie
Question
Considérons des particules de charge \(q < 0\) qui pénètrent à la vitesse \(\vec v\) dans un champ magnétique \(\vec B\) constant et uniforme, porté par l'axe \(z\).
L'espace est rapporté à un référentiel orthonormé direct \((O ; x,y,z)\).
Sachant que des particules sont déviées suivant l'axe des \(y\) et vers le haut (sens des \(y > 0\)), en déduire le sens de \(\vec B\).
Aide simple
Représentons le sens de \(q\vec v\) et \(\vec F\) sur la figure. Attention, les particules sont des charges négatives.
Rappel de cours
Le produit scalaire :
\(\vec A.\vec B=\left(\begin{array}{c} A_1\\A_2\\A_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} . \left(\begin{array}{c} B_1\\B_2\\B_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} =A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3\)
Le produit vectoriel :
\(\vec A\wedge\vec B=\left(\begin{array}{c} A_1 \\ A_2 \\ A_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} \wedge\left(\begin{array}{c} B_1 \\ B_2 \\ B_3 \end{array} \right)_{\mathcal{B}} =\left(\begin{array}{c} A_2B_3-A_3B_2 \\ A_3B_1-A_1B_3 \\ A_1B_2-A_2B_1 \end{array} \right)_{\mathcal{B}}\)
Les opérateurs vectoriels :
Système de repérage cartésien \(\mathcal{B}_{\mathrm{cart.}}(\vec{e_x}, \vec{e_y}, \vec{e_z})\)
gradient : \(\vec{\mathrm{grad}}U\) | divergence : \(\mathrm{div}\vec A\) | rotationnel : \(\vec{\mathrm{rot}}\vec A\) |
\(\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial x} } \\\\ \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial y} } \\\\ \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial z} } \end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cart.}}}\) | \(\displaystyle{ \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} }\) | \(\left(\begin{array}{c}\displaystyle{ \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} }\end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cart.}}}\) |
Système de repérage cylindrique \(\mathcal B_{\mathrm{cyl.}}(\vec{e_r},\vec{e_{\theta}},\vec{e_z})\)
gradient : \(\vec{\mathrm{grad}}U\) | divergence : \(\mathrm{div}\vec A\) | rotationnel : \(\vec{\mathrm{rot}}\vec A\) |
\(\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial r} } \\\\ \displaystyle{ \frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial \theta} }\\\\ \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial z} } \end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cyl.}}}\) | \(\displaystyle{ \frac{1}{r} \frac{\partial (r . A_r) }{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial A_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial A_z}{\partial z} }\) | \(\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{1}{r} \frac{\partial A_z}{\partial \theta}-\frac{\partial A_ \theta}{\partial z} } \\\\ \displaystyle{ \frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r} } \\\\ \displaystyle{ \frac{1}{r} \left( \frac{\partial (r. A_{\theta})}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right)} \end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cyl.}}}\) |
Nom de l'outil | Comment s'énonce-t-il ? | Quand l'utiliser ? |
Théorème d'Ampère | \(\displaystyle{ \oint_{\mathcal C}\vec B.\vec{\mathrm{d}l}=\mu_0\sum I }\) | Pour calculer \(\vec B\) si la géométrie du problème permet un calcul simple de la circulation de \(\vec B\). |
Loi de Biot et Savart | \(\displaystyle{ \vec B(M)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal D}\vec{\mathrm{d} \mathcal C}(P)\wedge\frac{\vec{PM}}{PM^3} }\) | Pour calculer \(\vec B\) si la géométrie de la distribution ne permet pas une application simple du théorème d'Ampère. |
Relation champ magnétostatique/ potentiel vecteur | \(\vec{B}(M)=\vec{\mathrm{rot}}\vec A(M)\) | Pour calculer \(\vec B\) si \(\vec A\) est connu. |
Définition de la force de Laplace | \(\vec{F_m}=\displaystyle{ \int_{\mathcal D}\vec{\mathrm{d} \mathcal C}(P)\wedge\vec B_{\mathrm{ext}}(P) }\) | Pour calculer la force qui s'exerce sur une distribution \(\mathcal D\) soumise à un champ magnétostatique extérieur \(\vec B_{\mathrm{ext}}\) |
Théorème de Maxwell | \(W_{2\leftarrow1}=I . \Phi_c\) | Pour calculer directement le torseur des forces qui agissent sur un circuit. |
Définition du potentiel vecteur | \(\displaystyle{ \vec A(M)=\int_{\mathcal D}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec{\mathrm{d}\mathcal C}(P)}{PM} }\) | Pour calculer \(\vec A\) si la distribution a un haut degré de symétrie. |
Solution détaillée
La force de Lorentz est déterminée à partir de l'expression : \(\vec F=q\vec v\wedge\vec B\).
Appliquons la règle des trois doigts (nous pourrions utiliser d'autres règles comme celle du bonhomme d'Ampère ou celle du tire-bouchon).
Cette règle s'utilise avec la main droite, les trois doigts indiquent des directions perpendiculaires. En plaçant le pouce suivant la direction et le sens de \(q\vec v\) et l'index suivant la direction et le sens de \(\vec B\), le majeur (perpendiculaire au pouce et à l'index) indique alors la direction et le sens de \(\vec F=q\vec v\wedge\vec B\).
Ici, les particules sont des charges négatives, \(q\vec v\) est dirigé vers les \(x < 0\). Les particules sont déviées vers les \(y > 0\), la force de Lorentz est donc dirigée vers les \(y > 0\).
Le pouce dans le sens de \(q\vec v\), l'index dans le sens de \(\vec B\), la force est vers les \(y > 0\).
\(\vec B\) doit donc être dirigé vers les \(z > 0\).
Dans la base \(\mathcal B=(\vec{e_x},\vec{e_y},\vec{e_z})\), nous obtenons : \(\vec B=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ B \end{array}\right)\).