Les propriétés du champ magnétostatique

Considérons une distribution de courants constituée par deux conducteurs rectilignes $\mathfrak{(D}_1)$ et $\mathfrak{(D}_2)$, infiniment longs, parallèles à l'axe $Oz$, distants de $a$ et parcourus respectivement par des courants continus d'intensités $I_1$ et $I_2$.

• Expression des forces mises en jeu entre $\mathfrak{(D}_1)$ et $\mathfrak{(D}_2)$

Ces forces sont données par la loi des actions électrodynamiques d'Ampère.

$\displaystyle{\vec F_{1 \leftarrow2} = \int_{\mathfrak{D}_1}I_1~\overrightarrow{\mathrm{d}l}(P_1) \wedge \int_{\mathfrak{D}_2}\frac{\mu_0}{4\pi} I_2~\overrightarrow{\mathrm{d}l}(P_2) \wedge \frac{\overrightarrow{P_2P_1}}{r^3} = \int_{\mathfrak{D}_1 }I_1~\overrightarrow{\mathrm{d}l}(P_1) \wedge \vec B_2(P_1)}$

et $\displaystyle{\vec F_{2 \leftarrow1} = \int_{\mathfrak{D}_2}I_2~\overrightarrow{\mathrm{d}l}(P_2) \wedge \vec B_1(P_2)}$

• Le champ magnétostatique que crée chaque fil en un point n'est fonction que de la distance de ce point au fil correspondant.

  Les courants $(\mathfrak{D}_1)$ et $(\mathfrak{D}_2)$ étant situés dans un même plan et distants de $a$, en chaque point $P_1$ de $(\mathfrak{D}_1)$, le champ créé par $(\mathfrak{D}_2)$ a la même valeur :

  $\vec B_2(P_1)=-\frac{\mu_0I_2}{2\pi a}\vec e_y$

  De même, en chaque point $P_2$ de $(\mathfrak{D}_2)$, $(\mathfrak{D}_1)$ crée un champ magnétostatique qui a pour expression

  $\vec B_1(P_2)=-\frac{\mu_0I_1}{2\pi a}\vec e_y$

• Chaque élément $I_1 \overrightarrow{\mathrm{d} l_1}$ de $(\mathfrak{D}_1)$ est soumis à la force élémentaire $\overrightarrow {\mathrm{d} F}_{1 \leftarrow 2}$ telle que

  $\overrightarrow {\mathrm{d} F}_{1 \leftarrow 2}= I_1\overrightarrow{\mathrm{d} l}(P_1) \wedge \vec B_2(P_1)=I_1 \mathrm{d} l~\vec e_z \wedge \frac{\mu_0I_2}{2\pi a}\vec e_y=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi a} \mathrm{d} l~\vec e_x$

  Ainsi la force que subit une longueur $l_1$ de $(\mathfrak{D}_1)$ a pour expression :

  $\overrightarrow {F}_{1 \leftarrow 2}=\frac{-\mu_0I_1I_2}{2\pi a} l_1~\vec e_x$ .

• De même, la force que subit une longueur $l_2$ de $(\mathfrak{D}_2)$ s'écrit : $\overrightarrow {F}_{2 \leftarrow 1}=-\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi a} l_2~\vec e_x$