Les propriétés du champ magnétostatique

Considérons une distribution de courants constituée par deux conducteurs rectilignes \(\mathfrak{(D}_1)\) et \(\mathfrak{(D}_2)\), infiniment longs, parallèles à l'axe \(Oz\), distants de \(a\) et parcourus respectivement par des courants continus d'intensités \(I_1\) et \(I_2\).

• Expression des forces mises en jeu entre \(\mathfrak{(D}_1)\) et \(\mathfrak{(D}_2)\)

Ces forces sont données par la loi des actions électrodynamiques d'Ampère.

\(\displaystyle{\vec F_{1 \leftarrow2} = \int_{\mathfrak{D}_1}I_1~\overrightarrow{\mathrm{d}l}(P_1) \wedge \int_{\mathfrak{D}_2}\frac{\mu_0}{4\pi} I_2~\overrightarrow{\mathrm{d}l}(P_2) \wedge \frac{\overrightarrow{P_2P_1}}{r^3} = \int_{\mathfrak{D}_1 }I_1~\overrightarrow{\mathrm{d}l}(P_1) \wedge \vec B_2(P_1)}\)

et \(\displaystyle{\vec F_{2 \leftarrow1} = \int_{\mathfrak{D}_2}I_2~\overrightarrow{\mathrm{d}l}(P_2) \wedge \vec B_1(P_2)}\)

• Le champ magnétostatique que crée chaque fil en un point n'est fonction que de la distance de ce point au fil correspondant.

  Les courants \((\mathfrak{D}_1)\) et \((\mathfrak{D}_2)\) étant situés dans un même plan et distants de \(a\), en chaque point \(P_1\) de \((\mathfrak{D}_1)\), le champ créé par \((\mathfrak{D}_2)\) a la même valeur :

  \(\vec B_2(P_1)=-\frac{\mu_0I_2}{2\pi a}\vec e_y\)

  De même, en chaque point \(P_2\) de \((\mathfrak{D}_2)\), \((\mathfrak{D}_1)\) crée un champ magnétostatique qui a pour expression

  \(\vec B_1(P_2)=-\frac{\mu_0I_1}{2\pi a}\vec e_y\)

• Chaque élément \(I_1 \overrightarrow{\mathrm{d} l_1}\) de \((\mathfrak{D}_1)\) est soumis à la force élémentaire \(\overrightarrow {\mathrm{d} F}_{1 \leftarrow 2}\) telle que

  \(\overrightarrow {\mathrm{d} F}_{1 \leftarrow 2}= I_1\overrightarrow{\mathrm{d} l}(P_1) \wedge \vec B_2(P_1)=I_1 \mathrm{d} l~\vec e_z \wedge \frac{\mu_0I_2}{2\pi a}\vec e_y=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi a} \mathrm{d} l~\vec e_x\)

  Ainsi la force que subit une longueur \(l_1\) de \((\mathfrak{D}_1)\) a pour expression :

  \(\overrightarrow {F}_{1 \leftarrow 2}=\frac{-\mu_0I_1I_2}{2\pi a} l_1~\vec e_x\) .

• De même, la force que subit une longueur \(l_2\) de \((\mathfrak{D}_2)\) s'écrit : \(\overrightarrow {F}_{2 \leftarrow 1}=-\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi a} l_2~\vec e_x\)