Définitions
Ordre d'une équation différentielle
Une équation d'ordre \(n\) est une relation entre une fonction et ses \(n\) premières dérivées : \(\Phi ( f, f ',..., f^{(n)} ) = 0\)
Exemple :
\(\Phi ( f, f ', f " ) = f ".\cos + \exp. f = 0\) est une équation différentielle du second ordre en \(f\). Dans la pratique, on écrit: \(f "(x).\cos x + f(x). e^x = 0\) .
Équation aux dérivées partielles
C'est une équation différentielle de fonctions \(\mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}\) ; ce sont alors des dérivées partielles qui interviennent.
Exemple :
\(\frac{\delta^2\phi}{\delta x^2}+\frac{\delta^2\phi}{\delta y^2}+\frac{\rho(x, y)}{\epsilon_0}=0\) où \(\Phi\) est une fonction inconnue de \(\mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}\) et \(\rho\) une fonction connue donnée
Solution générale
Résoudre une équation différentielle, c'est trouver l'ensemble des fonctions qui satisfont à cette équation.
Quand on arrive à synthétiser l'ensemble des solutions en une expression unique, cette expression est appelée solution générale de l'équation.
Solution particulière
On appelle solution particulière : UNE fonction \(f\) qui satisfait à l'équation différentielle.