Plus courte traversée entre deux ports [Cinématique dans l'espace-temps]

Plus courte traversée entre deux ports

Durée : 8 mn

Note maximale : 8

Question

Sur la sphère terrestre de rayon $R$ , deux ports $A$ et $B$ de l'Océan Pacifique sont repérés par leurs coordonnées angulaires $\theta_A, \varphi_A$ et $\theta_B, \varphi_B$ .

Quelle est la distance minimale que peut parcourir un bateau pour relier $A$ à $B$ ?

Calculez cette distance en fonction de $R$ dans les cas particuliers suivants ( où $A$ et $B$ ne désignent plus nécessairement des ports ) :

1. $\displaystyle{\theta_A=\frac{\pi}{2}}\quad\varphi_A=\varphi\quad\theta_B=\pi\quad\varphi_B=\varphi$

2. $\displaystyle{\theta_A=\theta\quad\varphi_A=0\quad\theta_B=\varphi\quad\varphi_B=\frac{\pi}{2}}$

3. $\displaystyle{\theta_A=\frac{\pi}{3}\quad\varphi_A=\varphi-\pi\quad\theta_B=\frac{\pi}{6}\quad\varphi_B=\phi}$

Vérifiez que les résultats obtenus sont conformes à ceux que prévoit la géométrie.

Solution

La distance la plus courte est la longueur de l'arc AB : $AB = R(\vec{OA},\vec{OB})$ .

(1 point)

On a d'autre part, $\vec{OA}.\vec{OB}=R^2\cos(\vec{OA},\vec{OB})$ .

(1 point)

En fonction des coordonnées angulaires on a :

$\cos(\vec{OA},\vec{OB})=\sin\theta_A\sin\theta_B(\cos\phi_A\cos\varphi_B+\sin\varphi_A\sin\varphi_B)+\cos\theta_A\cos\theta_B$

(2 points)

ou bien $\sin\theta_A\sin\theta_B \cos (\varphi_A - \varphi_B) + \cos \theta_A \cos\theta _B$ .

(1 point)

1. $\cos(\vec{OA}.\vec{OB})=\cos(\theta_A-\theta_B)=0$

$\displaystyle{AB}=R\textrm{ Arccos }0=R\left(\frac{\pi}{2}\right)$

(qui peut être obtenu géométriquement).

(1 point)

2) $\cos(\vec{OA}.\vec{OB})=\cos^2\theta$

$AB=R\mathrm{ Arc }\cos(\cos^2\theta)$ si $\displaystyle{\theta=\left(\frac{\pi}{2}\right)}$ , on a $\displaystyle{AB=R\left(\frac{\pi}{2}\right)}$

(1 point)

3) $\cos(\vec{OA}.\vec{OB})=\cos(\theta_A+\theta_B)=0$

$\displaystyle{AB=R \mathrm{ Arc }\cos0=R\left(\frac{\pi}{2}\right)}$

(qui peut être obtenu géométriquement).

(1 point)