Tétraèdre régulier 1
Durée : 6 mn
Note maximale : 6
Question
Un tétraèdre est une figure géométrique à quatre faces. Il est régulier lorsque les faces sont quatre triangles équilatéraux égaux.
On peut le construire de la manière suivante. Par rapport à un repère \(Oxyz\), on définit dans le plan \(xOz\) deux directions symétriques par rapport à \(Oz\) et formant un angle \(\delta\). On fait de même dans le plan \(yOz\), comme le montre la figure.
On appelle \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) les points d'intersection de ces quatre demi-droites avec la sphère \((O,a)\).
Quelle condition doit-on imposer à la distance \(AC\) pour que le tétraèdre soit régulier ?
Quelle est alors la valeur de l'angle \(\delta\) ?
Solution
On a suivant la construction géométrique,
\(\displaystyle{\vec{OA}=a\left( \sin{\frac{\delta}{2}} \vec{u_x}+\cos{\frac{\delta}{2}} \vec{u_z} \right) }\) et \(\displaystyle{\vec{OC}=a\left( \sin{\frac{\delta}{2}} \vec{u_y}-\cos{\frac{\delta}{2}} \vec{u_z} \right) }\)
(1 point)
\(OB\) est symétrique de \(OA\) par rapport à \(Oz\), donc : \(\displaystyle{AB=2a\sin\frac{\delta}{2}}\)
(1 point)
Mais pour que le tétraèdre soit régulier, il faut aussi que \(AC=AB\). Or, \(\displaystyle{\vec{AC}=a\left(-\sin{\frac{\delta}{2}} \vec{u_x}+\sin{\frac{\delta}{2}} \vec{u_y} - 2\cos{\frac{\delta}{2}} \vec{u_z} \right) }\)
(1 point)
et donc :
\(\displaystyle{AC^2=a^2 \left(2\sin^2{\frac{\delta}{2}}+4\cos^2{\frac{\delta}{2}} \right)=a^2 \left(1+2\cos^2{\frac{\delta}{2}} \right) }\)
(2 points)
On en déduit que :
\(\displaystyle{4\sin^2{\frac{\delta}{2}}=1+2\cos^2{\frac{\delta}{2}}}\) donc \(\displaystyle{\cos^2{\frac{\delta}{2}}=\frac{1}{3}}\) et \(\displaystyle{\cos{\delta}=-\frac{1}{3}}\)
On trouve \(\delta =\mathrm{109° 28}'\).
(1 point)