Si on choisit un repère formé par les axes orthogonaux passant par les côtés issus du sommet \(A\), comme il est indiqué sur la figure, les composantes scalaires du vecteur \(\vec{AB}\) sont \((a, b, c)\) et celles du vecteur \(\vec{AC}\) sont \((a, b, 0)\).
(1 point)
Les normes de ces deux vecteurs sont \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) et \(\sqrt{a^2+b^2}\).
(1 point)
Leur produit scalaire \(\vec{AB}.\vec{AC}=a^2+b^2\).
On a : \(\cos(\vec{AB}.\vec{AC})=\frac{\vec{AB}.\vec{AC}}{(AB).(AC)}=\sqrt{\frac{(a^2+b^2)}{(a^2+b^2+c^2)}}\)
(1 point)
Dans le cas d'un cube, \(a=b=c\) et \(\cos(\vec{AB}.\vec{AC})=\sqrt{\frac{2}{3}}\).
On peut obtenir directement ce résultat en utilisant la géométrie :
Dans le triangle rectangle \(AIC\), on a \(AC^2 = AI^2 + IC^2 = 2a^2\).
Dans le triangle rectangle \(ACB\), on a \(AB^2 = AC^2 + CB^2 = 3a^2\).
\(\cos(\vec{AB}.\vec{AC})=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
(1 point)
