Composantes scalaires d'un vecteur
Durée : 6 mn
Note maximale : 6
Question
En utilisant le cercle de rayon unité, montrez comment le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{OA}\) et \(\vec{OB}\) peut permettre de déterminer l'angle \(\varphi\), formé par leurs directions.
Utilisez le produit scalaire pour exprimer algébriquement que les trois vecteurs \(\vec{u_x}\), \(\vec{u_y}\), \(\vec{u_z}\), sont unitaires et orthogonaux.
En déduire l'expression des composantes scalaires d'un vecteur quelconque \(\vec{OM}\) de l'espace dans le repère orthonormé \((O:\vec{u_x}, \vec{u_y}, \vec{u_z})\).
Solution
On peut associer à chaque vecteur \(\vec{OA}\) ou \(\vec{OB}\) ou, un vecteur unitaire, \(\vec{OA_1}\) ou \(\vec{OB_1}\) ou , dont l'extrémité, \(A_1\) ou \(B_1\), se trouve sur le cercle de rayon unité : ainsi
\(\vec{OA_1}=\frac{\vec{OA}}{OA}\) et \(\vec{OB_1}=\frac{\vec{OB}}{OB}\)
(1 point)
On a alors \(\vec{OA_1}.\vec{OB_1}=\frac{\vec{OA}.\vec{OB}}{OA.OB}=\cos\varphi\)
(1 point)
Les trois vecteurs \(\vec{u_x}\), \(\vec{u_y}\), \(\vec{u_z}\), sont unitaires et orthogonaux s'ils sont tels que \(\vec{u_i}.\vec{u_j}=1\) et \(\vec{u_i}.\vec{u_j}=0\) lorsque \(j\) est différent de \(i\).
(2 points)
Soit alors d'un vecteur quelconque , \(\vec{OM}=x\vec{u_x}+y\vec{u_y}+z\vec{u_z}\), on a donc \(\vec{OM}.\vec{u_x}=x\)
Et plus généralement \(\vec{OM}.\vec{u_i}\) où \(i = x, y\mathrm{ ou }z\).
(2 points)