Rotation du repère
Durée : 8 mn
Note maximale : 8
Question
Les composantes scalaires du vecteur \(\vec{OM}\) par rapport au repère orthonormé \((O:\vec{u_x},\vec{u_y},\vec{u_z})\)sont \(M_x\), \(M_y\), \(M_z\).
Quelles sont les composantes \(M_r\), \(M_\theta\), \(M_\varphi\) de ce vecteur par rapport au repère \((M :\vec{u_r},\vec{u_\theta},\vec{u_\varphi})\) tel que :
\(\vec{u_r}=\sin\theta\cos\varphi\vec{u_x}+\sin\theta\sin\varphi\vec{u_y}+\cos\theta\vec{u_z}\)
\(\vec{u}_\theta=\cos\theta\cos\varphi\vec{u_x}+\cos\theta\sin\varphi\vec{u_y}-\sin\theta\vec{u_z}\)
\(\vec{u_\varphi}=-\sin\varphi\vec{u_x}+\cos\varphi\vec{u_y}\)
Solution
On remarque d'abord que le repère \((M:\vec{u_r},\vec{u_\theta},\vec{u_\varphi})\) est orthonormé. Par exemple :
\(\vec{u_r}.\vec{u_\varphi}=-(\sin\theta\cos\varphi)\sin\varphi+(\sin\theta\sin\varphi)\cos\varphi=0\)
(1 point)
\(\vec{u_r}.\vec{u_r}=(\sin\theta\cos\varphi)^2+(\sin\theta\sin\varphi)^2+\cos^2\theta=1\)
(1 point)
Dans ces conditions on sait que :
\(M_r=\vec{OM}.\vec{u_r}\quad M_\theta=\vec{OM}.\vec{u_\theta}\quad M_\varphi=\vec{OM}.\vec{u_\varphi}\)
(2 points)
On trouve alors successivement :
\(\begin{array}{rcl} M_r&=&\vec{OM}.\vec{u_r}=\vec{OM}.(\sin\theta\cos\varphi\vec{u_x}+\sin\theta\sin\varphi\vec{u_y}+\cos\theta\vec{u_z})\\&=&\sin\theta\cos\varphi M_x+\sin\theta\sin\varphi M_y+\cos\theta M_z\end{array}\)
(2 points)
et de la même façon
\(M_\theta=\vec{OM}.\vec{u_\theta}=\cos\theta\cos\varphi M_x+\cos\theta\sin\varphi M_y-\sin\theta u_z\)
(1 point)
\(M_\varphi=\vec{OM}.\vec{u_\varphi}=-\sin\varphi M_x+\cos\varphi M_y\)
(1 point)