Champ de vecteurs unitaires (en cartésien)
Durée : 6 mn
Note maximale : 6
Question
Le vecteur \(\vec{OM}\) détermine la position d'un point \(M\) de l'espace par rapport à un repère rectangulaire direct \((O : x, y, z)\).
Le vecteur \(\vec{MM}'\) détermine le déplacement d'un mobile ponctuel entre les points \(M\) et \(M'\).
Représentez sur un schéma les vecteurs unitaires \(\vec{u}\) définis par
\(\lim_{ds\rightarrow 0}\left(\frac{\vec{MM}'}{ds}\right)\) où \(ds\) est la mesure algébrique de l'élément de courbe parcouru lorsqu'on accroît de façon infinitésimale la coordonnée cartésienne \(i\) de \(M\), les deux autres restant constantes.
Solution
Lorsque \(x\) et \(y\) sont fixés, \(MM'\) est segment de la droite parallèle à \(Oz\) passant par \(M\).
On a \(ds=\vec{MM'}=dz\)
et \(\vec{k}=\lim_{(ds\rightarrow 0)}\left(\frac{\vec{{MM}'}}{{ds}}\right)\) est donc dirigé suivant \({Oz}\) dans le sens positif, que \({ds}\) (\({dz}\)) soit \(>0\) ou \(<0\).
(2 points)
On obtient de la même façon \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\).
(4 points)