Champ de vecteurs unitaires (en cylindrique)
Durée : 6 mn
Note maximale : 6
Question
Le vecteur \(\vec{OM}\) détermine la position d'un point \(M\) de l'espace par rapport à un repère rectangulaire direct \((O: x, y, z)\).
Le vecteur \(\vec{MM'}\) détermine le déplacement d'un mobile ponctuel entre les points \(M\) et \(M'\).
Représentez sur un schéma les vecteurs unitaires \(\vec{u_i}\) définis par :
\(\lim_{(ds\rightarrow 0)}\left(\vec{\frac{MM'}{ds}}\right)\) où \(ds\) est la mesure algébrique de l'élément de courbe parcouru par \(M\) lorsqu'on accroît de façon infinitésimale la coordonnée cylindrique \(i\) de \(M\), les deux autres restant constantes.
Solution
Lorsque \(\rho\) et \(\phi\) sont fixés, \(MM'\) est un segment de la droite \(MH\) parallèle à \(Oz\).
\(ds=\overline{MM'}=dz\), \(\vec{u_z}=dz\),
\(\lim_{(ds\rightarrow0)}\left(\vec{\frac{MM'}{ds}}\right)\) est donc porté par \(HM\) dans le sens positif, que \(ds\) (\(dz\)) soit \(> 0\) ou \(< 0\).
(2 points)
Lorsqu'on fixe \(z\) et \(\phi\), \(MM''\) est un segment de la demi-droite \(CM\).
On a \(ds=\overline{MM''}=dr\), \(\vec{u_r}\) est donc porté par \(CM\) dans le sens positif, que \(ds\) (\(dr\)) soit \(> 0\) ou \(< 0\).
Lorsque \(\rho\) et \(z\) sont fixés, \(MM_1\) est un arc du cercle de centre \(C\) et de rayon \(r\).
(2 points)
On a \(ds=MM_1=rd\theta\), \(\vec{u_\phi}\) est donc porté par la tangente en \(M\) au cercle de rayon \(r\) centré en \(C\), dans le sens croissant de \(\phi\), que \(ds\) (\(d\phi\)) soit \(> 0\) ou \(< 0\).
(2 points)