Champ de vecteurs unitaires (en cylindrique) [Cinématique dans l'espace-temps]

Champ de vecteurs unitaires (en cylindrique)

Durée : 6 mn

Note maximale : 6

Question

Le vecteur $\vec{OM}$ détermine la position d'un point $M$ de l'espace par rapport à un repère rectangulaire direct $(O: x, y, z)$ .

Le vecteur $\vec{MM'}$ détermine le déplacement d'un mobile ponctuel entre les points $M$ et $M'$ .

Représentez sur un schéma les vecteurs unitaires $\vec{u_i}$ définis par :

$\lim_{(ds\rightarrow 0)}\left(\vec{\frac{MM'}{ds}}\right)$ où $ds$ est la mesure algébrique de l'élément de courbe parcouru par $M$ lorsqu'on accroît de façon infinitésimale la coordonnée cylindrique $i$ de $M$ , les deux autres restant constantes.

Solution

Lorsque $\rho$ et $\phi$ sont fixés, $MM'$ est un segment de la droite $MH$ parallèle à $Oz$ .

$ds=\overline{MM'}=dz$ , $\vec{u_z}=dz$ ,

$\lim_{(ds\rightarrow0)}\left(\vec{\frac{MM'}{ds}}\right)$ est donc porté par $HM$ dans le sens positif, que $ds$ ( $dz$ ) soit $> 0$ ou $< 0$ .

(2 points)

Lorsqu'on fixe $z$ et $\phi$ , $MM''$ est un segment de la demi-droite $CM$ .

On a $ds=\overline{MM''}=dr$ , $\vec{u_r}$ est donc porté par $CM$ dans le sens positif, que $ds$ ( $dr$ ) soit $> 0$ ou $< 0$ .

Lorsque $\rho$ et $z$ sont fixés, $MM_1$ est un arc du cercle de centre $C$ et de rayon $r$ .

(2 points)

On a $ds=MM_1=rd\theta$ , $\vec{u_\phi}$ est donc porté par la tangente en $M$ au cercle de rayon $r$ centré en $C$ , dans le sens croissant de $\phi$ , que $ds$ ( $d\phi$ ) soit $> 0$ ou $< 0$ .

(2 points)