Champ de vecteurs unitaires (en sphérique)
Durée : 6 mn
Note maximale : 6
Question
Le vecteur \(\vec{OM}\) détermine la position d'un point \(M\) de l'espace par rapport à un repère rectangulaire direct \((O : x, y, z)\).
Le vecteur \(\vec{MM'}\) détermine le déplacement d'un mobile ponctuel entre les points \(M\) et \(M'\).
Représentez sur un schéma les vecteurs unitaires \(\vec{u_i}\) définis par
\(\lim_{(ds \rightarrow 0)} \left( \frac {\vec{MM}'} {ds} \right )\)
où \(ds\) est la mesure algébrique de l'élément de courbe parcouru lorsqu'on accroît de manière infinitésimale la coordonnée sphérique \(i\) de \(M\), les deux autres restant constantes.
Solution
Lorsque \(\theta\) et \(\phi\) sont fixés, \(MM'\) est un segment de la demi-droite \(OM\) . On a \(ds=\overline{MM'}=dr\) \(\vec{u_r} = \lim_{(ds \rightarrow 0)} \left( \frac {\vec{MM'}} {ds} \right )\), qui est donc porté par \(OM\), dans le sens \(OM\), que \(ds\) (\(dr\)) soit \(> 0\) ou \(< 0\).
(2 points)
Lorsque \(r\) et \(\theta\) sont fixés, \(MM_1\) est un arc du cercle de rayon \(r\sin\theta\) centré en \(C\).
On a : \(ds=MM_1=r\sin\theta d\varphi\)
\(\vec{u_\varphi}\) est donc porté par la tangente en \(M\) au cercle de centre \(C\), dans le sens direct que \(ds\) (\(d\varphi\)) soit \(> 0\) ou \(< 0\).
(2 points)
Lorsque \(r\) et \(\varphi\) sont fixés, \(MM_2\) est un arc du demi-cercle de rayon \(r\) centré en \(O\).
On a : \(ds=MM_2=rd\theta\)
\(\vec{u_\theta}\) est donc porté par la tangente en \(M\) au cercle de centre \(O\), dans le sens croissant de \(\theta\), que \(ds\) (\(d\theta\)) soit \(> 0\) ou \(< 0\).
(2 points)