Chemin hélicoïdal [Cinématique dans l'espace-temps]

Chemin hélicoïdal

Durée : 8 mn

Note maximale : 8

Question

Dans un référentiel d'espace-temps à trois dimensions, les événements sont repérés par les coordonnées polaires $(r, \varphi)$ dans le plan $xOy$ , et $t$ sur l'axe du temps : $E(r, \varphi, t)$ .

Dans ce référentiel, le mouvement d'un point matériel est décrit par un chemin hélicoïdal tel que :

$r = R$ , $\displaystyle{\varphi=\frac{2\pi t}{T}}$

Décrivez le mouvement aussi complètement que possible.

Solution

La projection du chemin sur $xOy$ est la trajectoire : c'est un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ .

(1 point)

Le point matériel est au point $A$ à l'instant $t=0$ et à l'instant $t=T$ .

(1 point)

Sa vitesse moyenne entre ces deux instants est égale à $2\pi R/T$

(1 point)

A chaque instant, la vitesse

$\displaystyle{\left|\frac{d\vec{OM}}{dt}\right|=R\frac{d\varphi}{dt}=\frac{2\pi R}{T}}$

est égal à la vitesse moyenne.

(1 point)

Le mouvement est donc circulaire et uniforme dans le plan.

(1 point)

Les coordonnées du point matériel à chaque instant sont :

$x(t)=R\cos\frac{2\pi R}{T}$ et $y(t)=R\sin\frac{2\pi R}{T}$

Le mouvement est périodique et sa période est $T$ .

(3 points)