Cycloïde

Durée : 8 mn

Note maximale : 8

Question

Le mouvement d'un point matériel \(M\) dans le plan \(xOy\) est décrit par les équations :

\(x = R(1 - \cos \Omega t)\) et \(y = R(\Omega t + \sin \Omega t)\),

où \(\Omega\) est un paramètre réel, positif et constant.

Quelle est la dimension de la grandeur \(\Omega\) ?

Montrez qu'il existe un référentiel par rapport auquel ce point matériel est animé d'un mouvement circulaire uniforme.

Décrivez le mouvement du point matériel \(M\) par rapport au plan \(xOy\) et dessinez sa trajectoire en interpolant à partir de quelques points.

Solution

Le produit \(\Omega t\) est sans dimension : \(\Omega\) est donc une pulsation, homogène à \(1/T\).

(1 point)

La position de \(M\) est déterminée par le vecteur \(\vec{OM}\) par rapport au repère \((O :\vec{u_x}, \vec{u_y})\) on a

\(\vec{OM}=x\vec{u_x}+y\vec{u_y}\)

Les expressions de \(x\) et \(y\) montrent qu'on peut écrire,

\(\vec{OM}=\vec{OC}+\vec{CM}\)

avec

\(\vec{OC}=R\vec{u_x}+R\Omega t\vec{u_y}\) et \(\vec{CM}=-R\cos\Omega t\vec{u_x}+R\sin\Omega t\vec{u_y}\)

(2 points)

Par rapport à \((O:\vec{u_x}, \vec{u_y})\) on voit que le point \(C\), repéré par \(\vec{OC}\) parcourt uniformément une droite parallèle à l'axe \(Oy\) avec une vitesse \(R\Omega\) : le repère \((C:\vec{u_x}, \vec{u_y})\)est donc animé d'un mouvement de translation uniforme de vitesse \(R\Omega\) par rapport à \((O :\vec{u_x}, \vec{u_y})\)

(1 point)

Par rapport à \((C:\vec{u_x}, \vec{u_y})\) le point matériel \(M\), repéré par \(\vec{CM}\) parcourt un cercle de centre \(C\) et de rayon \(R\) d'un mouvement uniforme de période \(\displaystyle{T=\frac{2\pi}{\Omega}}\)

(1 point)

Par rapport à \((O:\vec{u_x}, \vec{u_y})\)le mouvement de \(M\) résulte donc de la composition d'un mouvement de translation et d'un mouvement de rotation. C'est le mouvement d'un point du cercle de rayon \(R\) roulant sans glisser sur \(Oy\).

(1 point)

Soit l'angle , on repère la position de \(C\) pour \(\displaystyle{\alpha=\frac{n\pi}{2}}\) puis celle de \(M\), lorsque \(n\) est compris entre 0 et 4.

On a l'allure de la trajectoire pour \(t\) compris entre 0 et \(T\), en interpolant entre ces points.

(2 points)