Équation vectorielle d'un mouvement
Durée : 9 mn
Note maximale : 9
Question
Par rapport à un référentiel d'origine \(O\), le mouvement d'un point matériel \(M\) est déterminé par l'équation vectorielle
\(\displaystyle{\frac{d\vec{OM}}{dt}=\vec{\Omega}\times\vec{OM}}\)
où \(\vec{\Omega}\) est un vecteur constant.
Montrez que la trajectoire est un cercle dont l'axe est confondu avec la direction du vecteur \(\vec{\Omega}\).
Solution
En formant le produit scalaire des deux membres de l'équation avec le vecteur \(\vec{OM}\) on obtient :
\(\displaystyle{\vec{OM}.\left(\frac{d\vec{OM}}{dt}\right)=\vec{OM}.(\vec{\Omega}\times \vec{OM})=0}\) soit \(\displaystyle{\frac{d\vec{OM}^2}{dt}=0}\)
(3 points)
ce qui montre que le module de \(OM\) est constant.
(1 point)
Si on forme le produit scalaire des deux membres de l'équation avec le vecteur \(\vec{\Omega}\), on obtient :
\(\displaystyle{\vec{\Omega}.\left(\frac{d\vec{OM}}{dt}\right)=\vec{\Omega}.(\vec{\Omega}\times \vec{OM})=0}\) soit \(\displaystyle{\frac{d}{dt}(\vec{\Omega}. \vec{OM})=0}\)
(3 points)
ce qui montre que la projection \(\vec{OC}\) de \(\vec{OM}\) sur \(\vec{\Omega}\) est constante.
(1 point)
Le point \(M\) se trouve donc sur un cercle de centre \(C\) dont l'axe est confondu avec celui de \(\vec{\Omega}\).
(1 point)