La Terre comme référentiel galiléen [Changements d'espace-temps]

La Terre comme référentiel galiléen

Durée : 8 mn

Note maximale : 8

Question

Par rapport à un référentiel lié à son centre $T$ , qu'on peut considérer comme galiléen pendant une durée courte en comparaison d'une année, Képler a établi les lois relatives au mouvement d'un point matériel abandonné à l'action de la Terre :

1) la trajectoire est une ellipse dont un des foyers est situé au point $T$ .

2) la trajectoire est parcourue en respectant la loi des aires :

$TMv_\bot=TM^2\omega=\mathrm{Cte}$

où $\omega$ est la vitesse angulaire de rotation de la demi-droite $[TM)$ .

Par ailleurs, l'observation quotidienne de la "chute libre" montre que la trajectoire d'un point matériel abandonné sans vitesse initiale par rapport à la Terre est un segment de droite verticale.

En considérant uniquement le cas où l'expérience est réalisée à l'équateur, examinez dans quelle mesure son résultat est compatible avec les lois de Képler.

Dans quelle mesure peut-on dire de la Terre qu'elle est un référentiel galiléen ?

Solution

Dans un référentiel galiléen lié à son centre $T$ , la Terre tourne avec une vitesse angulaire $\Omega$ constante. Le point matériel est abandonné en $I$ , à la verticale de $A$ , sans vitesse par rapport à la Terre donc avec une vitesse angulaire $\Omega$ par rapport aux étoiles.

(1 point)

Le point matériel décrit donc une ellipse dans le référentiel galiléen

(1 point)

et suivant la loi des aires,

$TM^2\omega(M)=\mathrm{Cte}$ ,

$\omega$ croit depuis $I$ jusqu'à $F$ où le point matériel touche le sol :

$\omega(M)\ge\omega(I) =\Omega$ .

(2 point)

Pendant le même temps la verticale $TA$ a tourné avec la vitesse $\Omega$ jusqu'à la position $TB$ .

(1 point)

De $\omega\ge\Omega$ , on déduit que

$AF>AB$

le point matériel a été dévié vers l'est par rapport à la verticale.

(2 points)

Que la terre puisse être considérée comme un référentiel galiléen dépend de l'amplitude de $BF$ . Elle est général négligeable lorsque $AI$ est petit devant $TA$ ou lorsque l'angle $(TA,TB)\ll2\pi$ .

(1 point)