Exercice de tir (version western)
Durée : 8 mn
Note maximale : 8
Question
Un jeu très prisé des as de la gâchette consiste à atteindre d'un projectile une cible qu'un acolyte lance en l'air.
La cible est lancée verticalement depuis le sol, au point \(B\), avec une vitesse initiale \(\vec{v_0}\) à l'instant \(t = 0\). Le tireur, posté au niveau du sol au point \(A\), à la distance \(D\) de la cible, est mis au défi de réussir à l'atteindre.
En considérant la cible et le projectile comme des points matériels et en raisonnant par rapport au référentiel galiléen où le tireur est immobile (la Terre), examinez comment le tireur doit s'y prendre pour relever le défi de la façon la plus simple et la plus efficace.
Plus précisément, et si on admet que les forces de frottement avec l'air sont négligeables, utilisez les enseignements de l'exercice précédent pour déterminer à quel instant \(t > 0\) il doit appuyer sur la détente et dans quelle direction il doit viser à ce moment-là.
Montrez que la théorie prévoit qu'il peut aussi réussir s'il choisit d'appuyer sur la détente à l'instant \(t = 0\) et déterminez dans quelle direction il doit viser à ce moment là. Expliquez pourquoi cette solution n'est pas la meilleure.
Solution
Tout point matériel soumis à l'action de la pesanteur a une accélération égale à \(\vec{g}=-g\vec{u_z}\) où \(g > 0\) (identité des masses pesante et inerte).
(1 point)
Le point \(C\) où se trouve la cible à un instant \(t > 0\) est déterminée par \(\vec{BC}(t)=\vec{g}\frac{t^2}{2}+\vec{v_0}t\) la trajectoire de la cible est donc sur une droite verticale passant par \(B\).
(1 point)
Sur cette droite, la vitesse de la cible \(\vec{v}(t)=\vec{g}t+\vec{v_0}\) s'annule à l'instant \(T_0=\frac{v_0}{g}>0\), où \(v_0=|\vec{v_0}|\), lorsqu'elle atteint son altitude maximale.
(1 point)
Si on choisit l'instant \(T_0\) comme origine des temps, les conditions initiales sont celles de l'exercice précédent : la cible se trouve à une hauteur \(h\)
\(h=-g\frac{{T_0}^2}{2}+v_0T_0=\frac{{v_0}^2}{2g}\)
et sa vitesse est nulle.
(1 point)
Ainsi, s'il appuie sur la détente à l'instant \(T_0\) où la cible s'immobilise, il suffit au tireur de la viser pour être certain de l'atteindre quelque part sur la verticale passant par le point \(B\) quelle que soit la vitesse initiale \(V_0\) du projectile.
(1 point)
S'il choisit d'appuyer sur la détente à l'instant \(t = 0\), il lui faut faire en sorte que le projectile et la cible se rencontre quelque part à un instant \(T > 0\).
Or le point \(P\) où se trouve le projectile à un instant \(t > 0\) est déterminée par
\(\vec{AP}(t)=\vec{g}\frac{t^2}{2}+\vec{V_0}t\)
la trajectoire du projectile est dans un plan vertical contenant \(\vec{V_0}\).
(1 point)
(2 points)
En écrivant que \(P\) et \(C\) sont confondus à l'instant \(T\) de la collision, on trouve
\(\vec{AB}=\vec{AP}(T)-\vec{BC}(T)=\vec{g}\frac{t^2}{2}+\vec{V_0}t-\left(g\frac{T^2}{2}+\vec{v_0}T\right)=(\vec{V_0}-\vec{v_0})T\).
de sorte que la différence de vitesses \((\vec{V_0}-\vec{v_0})\) doit être portée par la droite \(AB\).
(1 point)
Donc, s'il choisit d'appuyer sur la détente à l'instant \(t = 0\), le tireur ne doit pas viser la cible mais pointer son arme dans une direction (qui est celle de \(\vec{V_0}\)) telle que \((\vec{V_0}-\vec{v_0})\) soit dirigé vers la cible.
Il est clair que cette condition ne peut pas être réalisée instantanément par le tireur car il ne maîtrise pas la vitesse \(v_0\) de la cible et il ignore en général la vitesse \(V_0\) du projectile.
En revanche, la condition précédente peut faire l'objet d'une vérification expérimentale. Connaissant les vitesses \(V_0\) et \(v_0\), il suffit de viser dans la direction formant avec la droite \(AB\) un angle \(\alpha\) tel que \(\alpha=\frac{v_0}{V_0}\).
L'impact se produira à l'instant \(T\) défini par la relation
\(V_0=\frac{|\vec{AB}+\vec{v_0}T|}{T}\)
(1 point)