Exercice de tir (version western). [Théorèmes généraux]

Exercice de tir (version western).

Durée : 10 mn

Note maximale : 10

Question

Une cible est abandonnée à l'action de la pesanteur au point \(B\), à une altitude \(h\), sans vitesse initiale. Un tireur posté au sol au point \(A\), à l'altitude \(0\) et à une distance non nulle de la verticale de la cible, est mis au défi de l'atteindre avec un projectile.

En considérant la cible et le projectile comme des points matériels et en raisonnant par rapport à un référentiel non galiléen que vous choisirez, examinez comment le tireur doit s'y prendre pour relever le défi de la façon la plus simple et la plus efficace.

Plus précisément, et si on admet que les forces de frottement avec l'air sont négligeables, déterminez dans quelle direction il doit viser s'il décide d'appuyer sur la détente à l'instant même, \(t = 0\), où la cible est abandonnée.

Expliquez pourquoi la vitesse initiale \(|\vec{V_0}|\) du projectile n'est pas un facteur déterminant de la réussite.

Calculez la valeur minimale qu'il faut donner à la vitesse initiale du projectile pour qu'elle atteigne la cible avant qu'elle touche le sol.

Solution

Il est commode, pour résoudre un problème de visée, de raisonner par rapport au référentiel où la cible est au repos au point \(C\), qu'on appelle aussi le référentiel propre de la cible.

Ce référentiel lié à la cible, n'est pas galiléen. Il est animé, par rapport au référentiel galiléen du tireur (la Terre), d'un mouvement uniformément accéléré (celui de la cible) dont le vecteur accélération est égal à celui de la pesanteur : \(\vec{g}\).

(1 point)

Inversement, les points \(A\) et \(B\) liés à la Terre sont entraînés par rapport au référentiel propre dans d'un mouvement uniformément accéléré dont le vecteur accélération est égal à \(-\vec{g}\) alors que le vecteur \(\vec{AB}\) reste invariant :

\(\vec{AB}(t)=\vec{AB}\)

(1 point)

On a ainsi,

\(\vec{CB}=-\vec{g}\frac{t^2}{2}\) et \(\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{BA}=-\vec{g}\frac{t^2}{2}-\vec{AB}\)

(1 point)

Dans ce référentiel, un point matériel (projectile ou cible) est soumis à une force d'inertie opposée à son poids.

La résultante des forces qui agissent sur le point matériel est donc nulle et il est animé, par rapport à ce référentiel, d'un mouvement rectiligne uniforme dont la vitesse est fixée par les conditions initiales.

(1 point)

C'est bien le cas de la cible qui reste naturellement immobile au point \(C\) dans son référentiel propre.

(1 point)

Quant au projectile, sa position à un instant \(t > 0\) est déterminée par

\(\vec{CP}(t)=-\vec{AB}+\vec{V_0}t\)

(1 point)

Une condition nécessaire et suffisante pour que le projectile atteigne la cible est que les points \(P\) et \(C\) coïncident à un instant \(T\) : dans ces conditions, \(\vec{CP}(T)=-\vec{AB}+\vec{V_0}T=\vec{0}\).

La vitesse \(\vec{V_0}\) doit être portée par la droite \(AB\).

(1 point)

Ainsi, s'il appuie sur la détente à l'instant \(t=0\), il suffit au tireur de viser la cible pour être certain que le projectile l'atteindra à l'instant \(T=\frac{D}{V_0}\) où \(D=|\vec{AB}|\) et \(V_0=|\vec{V_0}|\)

(1 point)

Pour que la collision ait lieu avant que la cible touche le sol, il suffit que le déplacement à l'instant \(T\) du sol par rapport à elle soit inférieur à \(h\) : soit

\(|\vec{CA}(T)-\vec{BA}|=|\vec{CB}|=g\frac{T^2}{2}<h \quad(g>0)\)

(1 point)

On en déduit que \(V_0>D\sqrt{\frac{g}{2h}}\)

(1 point)