Jongleur funambule (référentiel propre)
Durée : 8 mn
Note maximale : 8
Question
Un funambule se déplace sur un fil tendu horizontalement avec une vitesse constante \(\vec{v_0}\). Il effectue en même temps un numéroïde jonglerie avec plusieurs balles.
En considérant le jongleur et les balles comme des points matériels et en raisonnant par rapport à un référentiel galiléen, non lié à la Terre, que vous choisirez, examinez comment le jongleur doit s'y prendre pour réussir son numéro.
Plus précisément, et si on admet que les forces de frottement avec l'air sont négligeables, déterminez dans quelle direction il doit lancer chaque balle pour pouvoir la récupérer un instant plus tard sans modifier son mouvement.
Expliquez pourquoi la vitesse initiale \(|\vec{V_0}|\) des balles n'est pas un facteur déterminant de la réussite et calculez la durée de vol \(T\) entre l'instant où une balle est lancée et l'instant où elle est réceptionnée. Interprétez l'expression de \(T\).
Solution
Il est commode de raisonner par rapport à un référentiel où le funambule est immobile (référentiel propre) pour étudier le mouvement des balles par rapport à lui. Ce référentiel, animé par rapport à la Terre d'un mouvement rectiligne et uniforme est aussi galiléen.
(1 point)
Supposons qu'à l'instant \(t = 0\), le funambule lance une balle depuis le point \(F\) avec une vitesse initiale \(\vec{V_0}\) par rapport au référentiel propre. Comme tout point matériel soumis à l'action de la pesanteur subit une accélération uniforme égale à l'accélération de la pesanteur \(\vec{g}\) (identité des masses pesante et inerte), la position \(B\) de la balle à un instant ultérieur \(t > 0\), est déterminée par \(\vec{FB}(t)=\vec{g}\frac{t^2}{2}+\vec{V_0}t\).
(1 point)
Une condition nécessaire et suffisante pour que la balle retombe dans les mains du funambule est que les points \(B\) et \(F\) coïncident à un instant \(T\) : cela se traduit par la relation, \(\vec{FB}(t)=\vec{g}\frac{t^2}{2}+\vec{V_0}t=\vec{0}\)
(1 point)
Elle montre que pour réussir son numéro, il suffit au funambule de lancer sa balle par rapport à son référentiel propre dans la direction verticale qui est celle de \(\vec{g}\),
(2 points)
et elle permet de déterminer le temps de vol \(T=-\frac{2V_0}{g}\).
(1 point)
La vitesse de la balle à l'instant t est \(\vec{V}(t)=\vec{g}t+\vec{V_0}\),
et sa projection verticale \(V(t)=gt+V_0\).
On vérifie qu'à l'instant \(\frac{T}{2}\), cette projection s'annule, ce qui indique que la balle a atteint son altitude maximale.
(2 points)