Jongleur funambule sur un fil (référentiel propre)
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Un funambule, initialement immobile, se laisse glisser sur un fil tendu dans une direction inclinée par rapport au sol horizontal et déterminée par le vecteur unitaire \(\vec{u}\). Il effectue en même temps un numéroïde jonglerie avec plusieurs balles.
En considérant le jongleur et les balles comme des points matériels et en raisonnant par rapport à un référentiel non galiléen que vous choisirez, examinez comment le jongleur doit s'y prendre pour réussir son numéro.
Plus précisément, et si on admet que les forces de frottement avec l'air sont négligeables, déterminez dans quelle direction il doit lancer chaque balle pour pouvoir la récupérer un instant plus tard sans modifier son mouvement.
Expliquez pourquoi la vitesse initiale \(|\vec{V_0}|\) des balles n'est pas un facteur déterminant de la réussite et calculez la durée de vol \(T\) entre l'instant où une balle est lancée et l'instant où elle est réceptionnée. Interprétez l'expression de \(T\).
Solution
Il est commode de raisonner par rapport à un référentiel où le funambule est immobile (référentiel propre) pour étudier le mouvement des balles par rapport à lui. Ce référentiel, animé par rapport à la Terre d'un mouvement rectiligne mais non uniforme n'est pas galiléen.
Supposons qu'à l'instant \(t = 0\), le funambule lance une balle depuis le point \(F\) avec une vitesse initiale \(\vec{V_0}\) par rapport au référentiel propre.
(1 point)
Dans le référentiel propre, la balle, dont les déplacements sont libres, est soumise à l'action de l'inertie s'exerçant parallèlement à la direction de \(\vec{u}\) et de la pesanteur. Sa position \(B\) est ainsi déterminée par rapport à \(F\) à un instant ultérieur, \(t > 0\), par
\(\vec{FB}(t)=-(\vec{g}.\vec{u})\vec{u}\frac{t^2}{2}+\vec{g}\frac{t^2}{2}+\vec{V_0}t\).
(1 point)
Une condition nécessaire et suffisante pour que la balle retombe dans les mains du funambule est que les points \(B\) et \(F\) coïncident à un instant \(T\) : cela se traduit par la relation,
\(\vec{FB}(T)=(\vec{g}-(\vec{g}.\vec{u})\vec{u})\frac{T^2}{2}+\vec{V_0}T=\vec{0}\).
(1 point)
On reconnaît dans \((\vec{g}-(\vec{g}.\vec{u})\vec{u})\) l'expression d'un vecteur appartenant au plan vertical passant par le fil tendu et, plus précisément, la composante de \(\vec{g}\) perpendiculaire à \(\vec{u}\).
(2 point)
Si on appelle \(\vec{g_\perp}\) cette composante, la relation précédente devient
\(\vec{g_\perp}\frac{T}{2}+\vec{V_0}=\vec{0}\).
(1 point)
Elle montre que, pour réussir son numéro, il suffit au funambule de lancer sa balle dans le plan vertical passant par le fil tendu, dans une direction perpendiculaire au fil qui est celle de \(\vec{g_\perp}\),
(1 point)
et elle permet de déterminer le temps de vol \(T=-\frac{2V_0}{g_\perp}\).
(1 point)
La vitesse de la balle à l'instant \(t\) est \(\vec{T}=\vec{g}t+\vec{V_0}\), et sa projection dans la direction de \(\vec{V_0}\) est \(\frac{\vec{V_0}.\vec{V}(t)}{V_0}=\frac{\vec{V_0}.\vec{g}t}{V_0}+V_0\).
En remarquant que \(g_\perp=\frac{\vec{V_0}.\vec{g}}{V_0}\),
on vérifie qu'à l'instant \(\frac{T}{2}\), cette projection s'annule, ce qui indique que la balle se trouve à la distance maximale du fil.
(2 points)