Conservation dans un champ de potentiel
Durée : 9 mn
Note maximale : 7
Question
Ecrivez l'équation fondamentale de la dynamique pour un point matériel soumis à l'action d'une force qui dérive d'un potentiel \(U\) en faisant apparaître sa quantité de mouvement.
Montrez comment, dans le cas où \(U\) est une fonction des coordonnées cartésiennes \(x\),\(y\) et \(z\), on peut déduire la conservation d'une (ou plusieurs) composante de la quantité de mouvement, \(p_x\),\(p_y\) ou \(p_z\) ,du fait que \(U\) ne dépend pas explicitement d'une (ou plusieurs) coordonnées \(x\), \(y\) ou \(z\).
Appliquez les résultats obtenus au cas d'un point matériel soumis à l'action du champ de pesanteur pour montrer quelle(s) composante(s) de la quantité de mouvement est (sont) conservée(s).
Solution
Lorsque le point matériel est soumis à l'action d'une force qui dérive d'un potentiel, l'équation fondamentale de la dynamique s'écrit :
\(\displaystyle{\frac{d\vec{p}}{dt}=-\vec{grad}U(M)}\)
(2 points)
En coordonnées cartésiennes, on obtient
\(\displaystyle{\frac{dp_x}{dt}=-\frac{\delta U}{\delta x}}\)
et de la même façon \(\displaystyle{\frac{dp_y}{dt}=-\frac{\delta U}{\delta y}}\) et \(\displaystyle{\frac{dp_z}{dt}=-\frac{\delta U}{\delta z}}\).
(2 points)
Ainsi, par exemple, si \(U\) est une fonction de \(y\) et \(z\) mais ne dépend pas de \(x\), alors \(p_x\) est une constante du mouvement.
(1 point)
Dans le cas d'un point matériel soumis à l'action du champ de pesanteur dont l'accélération est \(\vec{g}=-g\vec{u_z}\) (avec \(g>0\)) on a
\(U(z)=mgz\) et \(\displaystyle{\frac{\delta U}{\delta x}=\frac{\delta U}{\delta y}=0}\).
(1 point)
Les composantes de \(\vec{p}\) qui se conservent sont donc les composantes perpendiculaires à la direction du champ, \(p_x\) et \(p_y\).
(1 point)