Invariance et Conservation
Durée : 8 mn
Note maximale : 8
Question
Ecrivez l'équation fondamentale de la dynamique pour un point matériel soumis à l'action d'une force qui dérive d'un potentiel \(U\) en faisant apparaître sa quantité de mouvement et projetez cette équation dans un repère orthonormé \((O ; x,y,z)\).
Montrez comment, dans le cas où \(U\) est une fonction des coordonnées cartésiennes \(x\), \(y\) et \(z\), on peut déduire que \(U\) ne dépend pas explicitement d'une (ou plusieurs) coordonnée(s) \(x\), \(y\) ou \(z\) du fait que le système est invariant sous l'effet d'une translation effectuée parallèlement à une (ou plusieurs) direction(s) \(Ox\), \(Oy\) ou \(Oz\).
Trouvez les composantes de la quantité de mouvement qui se conservent pour un point matériel soumis à l'action d'un environnement dont les propriétés d'invariance par translation sont les mêmes que celles d'un cylindre de longueur infinie.
Solution
Lorsque le point matériel est soumis à l'action d'une force qui dérive d'un potentiel, l'équation fondamentale de la dynamique s'écrit :
\(\displaystyle{\frac{d\vec{p}}{dt}=-\vec{grad}U(M)}\)
(2 points)
En coordonnées cartésiennes, on obtient \(\displaystyle{\frac{dp_x}{dt}=-\frac{\delta U}{\delta x}}\)
et de la même façon \(\displaystyle{\frac{dp_y}{dt}=-\frac{\delta U}{\delta y}}\) et \(\displaystyle{\frac{dp_z}{dt}=-\frac{\delta U}{\delta z}}\).
(2 points)
Si \(U\) est invariante sous l'effet d'une translation effectuée parallèlement à \(Ox\), c'est que \(U(x,y,z)=U(x_0,y,z)\).
\(U\) est une fonction de \(y\) et \(z\) seulement et \(\displaystyle{\frac{\delta U}{\delta x}=0}\).
Inversement si \(\displaystyle{\frac{\delta U}{\delta x}=0}\), \(U=f(y,z)=U(x_0,y,z)\).
(2 points)
Un cylindre de longueur infinie est invariant seulement sous l'effet d'une translation dans la direction de son axe de révolution \(Oz\).
La seule composantes de la quantité de mouvement qui se conserve est \(p_z\).
(2 points)