Mouvement dans un tube cylindrique.
Durée : 12 mn
Note maximale : 12
Question
On étudie le mouvement d'un fluide à l'intérieur d'un tube cylindrique de rayon \(a\) et de longueur infinie.
On fait l'hypothèse qu'à l'échelle microscopique le fluide est formé de particules assimilables à des points matériels. Chacun de ces points est soumis à des actions répulsives de la part de ses voisins et, éventuellement, aux actions de frottement produites par la paroi du tube. On admet qu'en régime stationnaire l'environnement dechaque point matériel a les mêmes propriétés d'invariance que le tube seul.
Que pouvez-vous dire de l'état dynamique de chaque point matériel dans ces conditions ?
Comment la description précédente serait-elle modifiée si le tube était ouvert à une extrémité ?
Solution
Lorsque le tube \(a\) une longueur infinie, l'environnement de chaque point matériel en régime stationnaire est invariant par translation suivant l'axe de révolution \(Oz\) du cylindre.
La composante \(p_z(x,y)\) de la quantité de mouvement est donc conservée.
(2 points)
Dans les mêmes conditions, l'environnement de chaque point matériel est également invariant par rotation autour de l'axe \(Oz\) de sorte que \(p_z(x,y)=p_z(r)\) où \(r\) est la distance qui sépare le point matériel de l'axe \(Oz\).
(2 points)
Que \(p_z(r)\) soit non nul implique l'existence d'un flux dirigé suivant \(Oz\) : ceci est néanmoins compatible avec l'existence d'un état stationnaire du fait que le tube (bien qu'infiniment long) est ouvert à ses deux extrémités.
(2 points)
En revanche, le fait que les points matériels soient confinés dans l'intervalle \(0<r<a\), exclut qu'il puisse y avoir un flux radial : de sorte qu'on a certainement \(p_r(r)=0\).
(2 points)
Lorsqu'on ouvre le tube à une extrémité, par exemple en \(z = 0\), l'invariance par translation est détruite et les points matériels peuvent sortir de l'intervalle \([0,a]\) lorsque \(z>0\).
(2 points)
La composante axiale \(p_z(r,z)\) n'est plus conservée et la composante radiale \(p_r(r,z)\), qui n'est plus nécessairement nulle, non plus. Le jet diverge.
(2 points)