Collision (4)
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Deux points matériels de masse \(m\) et \(M\), isolés et n'interagissant pas l'un sur l'autre, sont animés de vitesses de sens opposés \(\vec{v}_1\) et \(\vec{v}_2\) par rapport à un référentiel galiléen lié au centre de masse.
Ils entrent en collision.
Déterminez les vitesses \(\vec{v}_1\) et \(\vec{v}_2\) des deux points matériels après le choc qu'on supposera élastique.
Représentez les résultats sur un diagramme.
Solution
On considère le système formé par les deux points matériels.
(1 point)
La conservation de la quantité de mouvement totale dans le référentiel galiléen du centre de masse s'écrit :
\(\vec{P}=\vec{P'}\)
soit \(m\vec{v}_1+M\vec{v}_2=m\vec{v'}_1+M\vec{v'}_2=\vec{0}\)
On en déduit que \(\displaystyle{\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2=\left(\frac{{v'}_1}{{v'}_2}\right)^2=\left(\frac{M}{m}\right)^2}\)
(2 points)
La conservation de l'énergie mécanique totale en l'absence d'interactions internes et externes se réduit à la conservation de l'énergie cinétique :
\(E_c=E'_c\)
soit \(\displaystyle{\frac{m(v_1)^2}{2}+\frac{Mv^2}{2}=\frac{m(v'_1)^2}{2}+\frac{M(v'_2)^2}{2}}\)
(2 points)
En éliminant \(v_2\) et \(v'_2\) entre les deux relations, on obtient \((v'_1)^2=(v_1)^2\).
On a de façon analogue \((v'_2)^2=(v_2)^2\).
(2 points)
Chaque point matériel conserve sa vitesse en module alors que la direction des trajectoires subit une rotation d'angle \(\alpha\) arbitraire.
(1 point)
(2 points)