Du plateau mobile à la fusée.
Durée : 12 mn
Note maximale : 12
Question
Initialement, \(N\) hommes sont au repos sur un plateau \(P\) animé d'une vitesse \(V_{N/S}\) par rapport au sol \(S\). Puis l'un d'entre eux \(H\), se met en mouvement : au bout d'un certain temps sa vitesse par rapport à \(P\) atteint sa valeur limite \(v_0\) et il quitte le plateau.
Un autre homme se met alors en mouvement et quitte le plateau dans les mêmes conditions. Puis un autre … etc.
En supposant que tous les déplacements s'effectuent dans une direction unique et qu'il n'y a pas de frottement entre \(P\) et \(S\), calculez la vitesse \(V_{(n-1)/S}\) du plateau par rapport à \(S\) lorsqu'il est chargé par \(n-1\) hommes, en fonction \(V_{n/S}\), vitesse du plateau chargé par \(n\) hommes, de \(m\), masse de \(H\), de \(M\), masse de \(P\) et de \(n\).
(On a intérêt à utiliser \(\overline{M_n}=M+nm\) qui est la masse en charge du plateau portant \(n\) hommes.)
Sachant que \(n\le N\), exprimez le résultat lorsque \(N\) est très grand en fonction de la variable \(\displaystyle{x=\frac{n}{N}}\) qui varie de manière quasi continue entre \(0\) et \(1\).
En déduire la vitesse \(V(x)_{/S}\) de \(P\) par rapport au sol en fonction de \(v_0\) et de sa masse en charge \(\overline{M}(x)\).
Dans quelle mesure peut-on comparer ce système à une fusée ?
Solution
Dans les mêmes conditions que celles de l'exercice précédent (système \((H,P)\)), la Loi Fondamentale de la Dynamique appliquée dans \(S\), a pour conséquence la conservation de la quantité de mouvement du système \((nH,P)\) dans \(S\) :
\(mv_{/S}+((n-l)m+M)V_{(n-1)/S}=(nm+M)V_{n/S}\)
(2 points)
En utilisant la masse en charge, on a
\(mv_{/S}+\overline{M}_{n-1}V_{(n-1)/S}=\overline{M_n}V_{n/S}\)
(1 point)
La loi de composition des vitesses permet d'écrire,
\(v_{/S}=v_0+V_{(n-1)/S}\)
(1 point)
on trouve :
\(\displaystyle{V_{(n-1)/S}=V_{n/S}-v_0\left(\frac{m}{\overline{M}_n}\right)}\)
(1 point)
Dans le cas limite considéré, \(\overline{M}(x)=M+xNmdV_{/S}\),
(1 point)
avec \(\displaystyle{x=\frac{n}{N}}\) et \(\displaystyle{dx=\frac{1}{N}}\)
(1 point)
On a alors \(V(x-dx)_{/S}-V(x)_{/S}=-v_0\frac{m}{\overline{M}(x)}=dV(x)_{/S}\)
et \(M(x-dx)-M(x)=d\overline{M}(x)=-dxNm=-m\)
(1 point)
La loi de conservation s'écrit alors : \(\displaystyle{dV(x)_{/S}=v_0\frac{d\overline{M}(x)}{\overline{M}(x)}}\)
(1 point)
En fonction de la masse initiale,\(\overline{M}(l)\), la vitesse du plateau est déterminée par la masse \(\overline{M}\) au même instant :
\(\displaystyle{V(x)_{/S}=v_0\log\left(\frac{\overline{M}(x)}{\overline{M}(l)}\right)}\).
(2 points)
On retrouve l'expression de la vitesse d'une fusée, ce qui est naturel puisque la mise en mouvement par "réaction" est la conséquence dans les deux cas d'une éjection continue de masse.
(1 point)