Exprimer l'énergie cinétique.
Durée : 5 mn
Note maximale : 5
Question
Un point matériel de masse \(m\) est libre de se déplacer sur une sphère de centre \(O\) et de rayon \(R\). Il est animé d'une vitesse \(\vec{v}\).
Exprimez l'énergie cinétique \(T\) en fonction de son moment cinétique \(\vec{L}\)
par rapport à \(O\) et de son moment d'inertie \(I\) par rapport à \(O\).
Solution
Le moment cinétique \(\vec{L}\) par rapport à \(O\) du point matériel s'écrit :
\(\vec{L}=m\vec{R}\wedge\vec{v}\)
(1 point)
Comme \(\vec{R}.\vec{v}=0\), on a \(\vec{L}=mRv\vec{u}\) où \(\vec{u}.\vec{u_r}=0\) et \(L^2=(mRv)^2\)
(1 point)
L'énergie cinétique s'écrit : \(\displaystyle{T=m\frac{\vec{v}^2}{2}}\)
(1 point)
En fonction de \(\vec{L}\) on a donc :
\(\displaystyle{T=\frac{\vec{L}^2}{(2mR^2)}}\) ou \(\displaystyle{T=\frac{\vec{L}^2}{(2I)}}\)
\(I\) étant le moment d'inertie du point matériel par rapport à \(O\).
(2 points)