Ecrire l'équation fondamentale.
Durée : 6 mn
Note maximale : 6
Question
Un point matériel de masse \(m\) est libre de se déplacer sur une sphère de centre \(O\) et de rayon \(R\) (ou sur un cercle d'axe \(Oz\) et de rayon \(R\)).
Il est soumis à l'action d'une force \(\vec{F}\).
On appelle \(\vec{\Gamma}\) le moment de cette force par rapport au point \(O\) (ou par rapport à l'axe \(Oz\)).
Ecrivez l'équation fondamentale de la dynamique en fonction du moment cinétique \(\vec{L}\) et du moment \(\vec{\Gamma}\) de cette force par rapport à \(O\) (ou par rapport à l'axe \(Oz\)).
Solution
Le moment cinétique \(\vec{L}\) par rapport à \(O\) du point matériel s'écrit :
\(\vec{L}=m\vec{R}\wedge\vec{v}\)
Le moment \(\vec{\Gamma}\) de la force \(\vec{F}\) s'écrit : \(\vec{\Gamma}=\vec{R}\wedge\vec{F}\).
(2 points)
L'équation fondamentale de la dynamique d'un point matériel de masse m s'écrit :
\(\displaystyle{m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}}\)
(1 point)
En fonction de \(\vec{L}\) et \(\vec{\Gamma}\) on a donc :
\(\displaystyle{m\vec{R}\wedge\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{R}\wedge\vec{F}}\)
(2 points)
soit: \(\displaystyle{\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\Gamma}}\)
(1 point)