Pendule (1)
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Un objet de petite taille de masse m qu'on peut assimiler à un point matériel est relié par un fil inextensible de longueur a et de masse négligeable à un point fixe \(O\).
Il est abandonné sans vitesse initiale à une altitude inférieure à celle de \(O\).
Montrez comment l'équation fondamentale de la dynamique du point matériel sur un cercle situé dans un plan vertical peut être exprimée en fonction de la composante du moment cinétique et du moment de la force de pesanteur par rapport à l'axe perpendiculaire à ce plan et passant par \(O\).
Montrez que le moment de la force de pesanteur s'exprime également en fonction du potentiel dont elle dérive.
Etablissez l'équation du mouvement et trouvez sa solution dans le cas de petits mouvements autour de la position d'équilibre.
Solution
Le point matériel est soumis à l'action de la pesanteur: \(\vec{F}=mg\vec{u_z}\) avec \(g>0\).
Il est également soumis à la tension du fil mais, celui-ci étant toujours dirigé vers le point de suspension \(O\), le moment de la tension par rapport à \(O\) est nul.
(2 points)
Si on repère la position du point matériel sur le cercle par l'angle \(\theta\), tel que \(z=a\cos\theta\ge0\), l'équation fondamentale de la dynamique pour le pendule dans le champ de pesanteur s'écrit :
\(\displaystyle{\frac{dL_y}{dt}=\Gamma_y}\)
où le moment des forces \(\Gamma_y=(\vec{r}\wedge m\vec{g}).\vec{u_r}=-amg\sin\theta\)
(2 points)
On remarque que si la force de pesanteur est telle que
\(\displaystyle{F=mg=-\frac{dU}{dz}}\) avec \(U=-mgz+U_0\)
(1 point)
le moment \(\Gamma_y\) de cette force par rapport à l'axe \(Oy\) s'écrit \(\displaystyle{-\frac{dU}{d\theta}}\)
En effet, \(\displaystyle{\frac{dU}{d\theta}=\left(\frac{dU}{dz}\right)\left(\frac{dz}{d\theta}\right)=amg\sin\theta}\)
(1 point)
Sachant que \(\displaystyle{L_y=ma^2\left(\frac{d\theta}{dt}\right)}\), il vient \(a\frac{d^2\theta}{dt^2}=-g\sin\theta\)
(1 point)
soit aussi, \(\displaystyle{\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{a}\sin\theta}\) pour de petits angles,
(2 points)
dont la solution est :
\(\theta=\theta_0\cos\omega_at\) avec \(\displaystyle{\omega_a=\sqrt{\frac{g}{a}}}\).
(1 point)