Point matériel dans un champ central
Durée : 8 mn
Note maximale : 8
Question
Un point matériel contraint de se déplacer dans un plan est soumis à l'action d'un champ de force central \(\vec{F}=F\vec{u_r}\).
Expliquez pourquoi la composante \(L_z\) du moment cinétique \(\vec{L}\) est conservée.
Etudiez le cas d'un point matériel dans l'espace soumis à l'action d'un champ de force central \(\vec{F}=F\vec{u_r}\)
Solution
L'équation fondamentale de la dynamique s'écrit :
\(\displaystyle{\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}}\) avec \(\vec{F}=F\vec{u_r}\)
(1 point)
Les moments par rapport à l'axe \(Oz\) passant par \(O\) s'écrivent :
\(\vec{\Gamma}=\vec{r}\wedge\vec{F}\) et \(\vec{L}=\vec{r}\wedge\vec{p}\) avec \(\vec{r}=r\vec{u_r}\)
(1 point)
\(\vec{r}\), \(\vec{p}\) et \(\vec{F}\) étant dans le plan, seuls \(\Gamma_z\) et \(L_z\) sont non nuls.
(1 point)
L'équation fondamentale de la dynamique s'écrit : \(\displaystyle{\frac{dL_z}{dt}=\Gamma_z}\)
La force étant centrale, on a \(\Gamma_z = 0\) et donc \(\displaystyle{\frac{dLz}{dt}=0}\): \(L_z\) est conservé.
(2 points)
Dans le cas d'un point matériel dans l'espace, les moments par rapport à \(O\) s'écrivent :
\(\vec{\Gamma}=\vec{r}\wedge\vec{F}\) et \(\vec{L}=\vec{r}\wedge\vec{p}\) avec \(\vec{r}=r\vec{u_r}\)
L'équation fondamentale de la dynamique s'écrit :
\(\displaystyle{\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\Gamma}}\)
(1 point)
La force étant centrale, on a encore \(\vec{\Gamma}=\vec{0}\)
et donc \(\displaystyle{\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0}}\) : \(\vec{L}\) est conservé et la trajectoire est plane.
(2 points)