Théorèmes généraux

Lorsque le point matériel est soumis à l'action d'une force qui dérive d'un potentiel, l'équation fondamentale de la dynamique s'écrit :

\(\displaystyle{\frac{d\vec{p}}{dt}=-\vec{grad}U}\)

(2 points)

On a \(\vec{p}=p_r\vec{u_r}+p_\phi\vec{u_\phi}\), et donc

\(\begin{array}{rcl}\displaystyle{\frac{d\vec{p}}{dt}}&=&\displaystyle{\frac{dp_r}{dt}\vec{u_r}+p_r\frac{d\vec{u_r}}{dt}+\frac{dp_\phi}{dt}\vec{u_\phi}+p_\phi\frac{d\vec{u_\phi}}{dt}}\\&=&\displaystyle{\left[\frac{dp_r}{dt}-p_\phi\frac{d\phi}{dt}\right]\vec{u_r}+\left[\frac{dp_\phi}{dt}+p_r\frac{d\phi}{dt}\right]\vec{u_\phi}}\end{array}\).

(2 points)

On obtient donc en projetant

\(\displaystyle{\frac{dp_r}{dt}-p_\phi\frac{d\phi}{dt}=-\frac{\delta U}{\delta r}}\)

\(\displaystyle{\frac{dp_\phi}{dt}+p_r\frac{d\phi}{dt}=-\frac{1}{r}\frac{\delta U}{\delta\phi}}\)

et

\(\displaystyle{\frac{dp_z}{dt}=-\frac{\delta U}{\delta z}}\)

(\(r\delta\phi\) et non pas \(\delta\phi\) car le gradient mesure un taux de variation dans l'espace).

(3 points)

Si \(U\) est invariante sous l'effet d'une rotation effectuée autour de \(Oz\), c'est que

\(U(r,\phi,z)=U(r,\phi_0,z)\)

\(U\) est une fonction de \(r\) et \(z\) seulement et \(\displaystyle{\frac{\delta U}{\delta\phi}=0}\).

Inversement, si \(\displaystyle{\frac{\delta U}{\delta\phi}=0}\), \(U=f(r,z)=U(r,\phi_0,z)\).

(2 points)

Un cylindre de longueur infinie est invariant sous l'effet d'une translation dans la direction de son axe de révolution \(Oz\) .

On a donc \(\displaystyle{\frac{\delta U}{\delta z}=0}\), d'où \(\displaystyle{\frac{dp_z}{dt}=0}\) et \(p_z\) est conservée.

Le cylindre est également invariant sous l'effet d'une rotation effectuée autour de \(Oz\).

On a donc \(\displaystyle{\frac{\delta U}{\delta\phi}=0}\) et en conséquence,

de \(\displaystyle{p_r=m\frac{dr}{dt}}\) et \(\displaystyle{p_\phi=mr\frac{d\phi}{dt}}\), on déduit que

\(\displaystyle{-\frac{1}{r}\frac{\delta U}{\delta\phi}=m\left[\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}+r\frac{d^2\phi}{dt^2}\right]+m\left[\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}\right]}\)

(2 points)

Dans le cas du cylindre infini où \(U = U(r)\), on a donc

\(\displaystyle{-\frac{\delta U}{\delta\phi}=m\left[2r\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}+r^2\frac{d^2\phi}{dt^2}\right]=\frac{d}{dt}\left[mr^2\frac{d\phi}{dt}\right]}=0\).

On vérifie que \(\displaystyle{mr^2\frac{d\phi}{dt}=L_z}\)

en effet, de \(\vec{L}=m\vec{r}\wedge\vec{v}\) on tire

\(\displaystyle{L_z=\vec{L}.\vec{u_z}=mr^2\frac{d\phi}{dt}}\).

On déduit que la seule composantes du moment cinétique qui se conserve est \(L_z\).

(3 points)