Théorèmes généraux

En calculant le moment par rapport au centre des forces \(O\) des deux membres de l'Equation fondamentale de la dynamique,

\(\displaystyle{m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}}\),

on obtient :

\(\displaystyle{m\left[\vec{r}\wedge\frac{d\vec{v}}{dt}\right]=\vec{r}\wedge\vec{F}=\vec{0}}\)

car \(\vec{F}=F\vec{u_r}\)

Or \(\displaystyle{\vec{r}\wedge m\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\wedge\vec{v})}\) car \(\displaystyle{\frac{d\vec{r}}{dt}\wedge\vec{v}=\vec{0}}\).

On en déduit que \(\displaystyle{\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0}}\)

ce qui signifie que \(\vec{L}=m\vec{r}\wedge\vec{v}\) est conservé en grandeur et en direction.

(2 points)

Si on oriente l'axe \(Oz\) suivant cette direction, on a :

\(\displaystyle{\frac{dL_z}{dt}=0}\) avec \(L_z=\vec{L}.\vec{u_r}\)

(1 point)

En coordonnées polaires dans le plan perpendiculaire à \(Oz\) et passant par \(O\), on obtient

\(\displaystyle{L_z=\left[m(r\vec{u_r})\wedge\left(\frac{dr}{dt}\vec{u_r}+r\frac{d\phi}{dt}\vec{u_\phi}\right)\right].\vec{u_z}=mr^2\frac{d\phi}{dt}}\)

(2 points)

Pour un mouvement circulaire, \(r = R\) est constant, et de la conservation de \(L_z\) en grandeur, on déduit que \(\displaystyle{\frac{d\phi}{dt}}\) est aussi constant : le mouvement est uniforme.

(1 point)