Théorèmes généraux

En calculant le moment par rapport au centre des forces \(O\) des deux membres de l'Equation fondamentale de la dynamique,

\(\displaystyle{m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}}\)

on obtient :

\(\displaystyle{m\left[\vec{r}\wedge\frac{d\vec{v}}{dt}\right]=\vec{r}\wedge\vec{F}=\vec{0}}\), \(\vec{F}=F\vec{u_r}\)

Or \(\vec{r}\wedge m\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\wedge\vec{v})\) car \(\displaystyle{\frac{d\vec{r}}{dt}\wedge\vec{v}=\vec{0}}\).

On en déduit que \(\displaystyle{\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0}}\)

ce qui signifie que \(\vec{L}=m\vec{r}\wedge\vec{v}\) est conservé en grandeur et en direction.

(2 points)

Si on oriente l'axe \(Oz\) suivant cette direction, on a :

\(\displaystyle{\frac{dL_z}{dt}=0}\) avec \(L_z=\vec{L}.\vec{u_z}\)

(1 point)

En coordonnées polaires dans le plan perpendiculaire à \(Oz\) et passant par \(O\), on obtient

\(L_z=\left[ m(r\vec{u_r}) \wedge \left( \left( \frac{dr}{dt}\vec{u_r}\right) + r \left( \frac{d\phi}{dt}\vec{u_\phi} \right) \right) \right].\vec{u_z}=mr^2\left(\frac{d\phi}{dt}\right)\)

(2 points)

Pour un mouvement uniforme, \(\vec{v}^2\) est conservé,

et \(\displaystyle{\left(\frac{dr}{dt}\right)^2+r^2\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2}\) est constant.

(2 points)

En éliminant \(\displaystyle{\frac{d\phi}{dt}}\) on obtient l'équation radiale,

\(\displaystyle{\left(\frac{dr}{dt}\right)^2+\frac{C^2}{r^2}=v^2}\)

où \(C\) et \(v\) sont constants.

(1 point)

Cette équation admet \(\displaystyle{r=\frac{C}{v}=R}\) comme solution particulière, mais ce n'est pas le cas général.

(2 points)