Travail d'une force de tension
Durée : 8 mn
Note maximale : 8
Question
Un objet de petite taille, assimilable à un point matériel de masse m, peut se déplacer sans frottement sur un plateau horizontal. Il est relié à un fil très fin de masse négligeable qui traverse le plateau en un point \(O\).
On communique à ce point matériel une vitesse initiale \(v_1\) et on le maintient sur une trajectoire circulaire de rayon \(R_1\) en exerçant sur le fil une force verticale.
Puis on tire très lentement sur le fil jusqu'à ce que la trajectoire du point matériel soit un cercle de rayon \(R_2\) inférieur à \(R_1\) (si lentement que l'accélération soit pratiquement nulle).
Calculez le travail de la force appliquée au fil.
Solution
Le point matériel est maintenu sur le cercle de rayon \(R_1\) par une force centrale
\(\displaystyle{-\frac{{mv_1}^2}{R_1}\vec{u_r}}\)
dont la norme est égale à celle de la force appliquée verticalement au fil
\(\displaystyle{-\frac{{mv_1}^2}{R_1}\vec{u_z}}\)
(2 points)
Pour effectuer un déplacement correspondant à la variation du rayon de la trajectoire de \(R_1\) à \(R_2\) (\(R_2 < R_1\)), l'opérateur doit fournir un travail opposé à celui de la force de tension.
(1 point)
Dans le cas d'un déplacement quasi-statique, la force de tension est opposée à la force centrale : on a donc
\(\displaystyle{W_{qs}=\int_{R_1}^{R_2}-\frac{mv^2}{r}dr>0}\)
(1 point)
La façon dont \(v\) dépend de \(r\) est indiquée par le théorème des aires
\(vr=C\) avec \(C=v_1R_1 =v_2R_2\),
(1 point)
dans ces conditions
\(W_{qs}=\displaystyle{\int_{R_1}^{R_2}-\frac{mC^2}{r^3}dr}\)
\(\begin{array}{rcl}W_{qs}&=&\displaystyle{\left(\frac{mC^2}{2}\right)\left(\frac{1}{{R_2}^2}-\frac{1}{{R_1}^2}\right)}\\&=&\displaystyle{\frac{m{v_2}^2}{2}-\frac{m{v_1}^2}{2}>0}\end{array}\)
(2 points)
On retrouve le résultat attendu d'après le théorème de l'énergie cinétique.
(1 point)