Freinage d'un satellite
Durée : 6 mn
Note maximale : 8
Question
Un satellite artificiel de la Terre a été installé sur une orbite de rayon \(R_1\). Il est soumis à des forces de frottement dues aux chocs avec les particules de la haute atmosphère qui provoquent une lente modification de sa trajectoire.
On admet que cette modification se traduit par une variation du rayon \(r\) de l'orbite circulaire de sorte que le satellite se retrouve au bout d'un certain temps sur une orbite de rayon \(R_2\).
Montrez que le frottement provoque la "chute" du satellite sur la Terre.
Comparez les vitesses \(v_1\) et \(v_2\) du satellite sur les orbites 1 et 2.
Expliquez le résultat en comparant le travail des forces de frottement à celui de la force de gravitation entre 1 et 2.
Solution
Le travail des forces de frottement est égal à la différence d'énergie mécanique entre les deux orbites 1 et 2 :
\(W_f = E(R_2) - E(R_1)\).
(1 point)
Ce travail est négatif (car résistant) et donc \(E(R_2) < E(R_1)\).
(1 point)
Pour trouver comment varie \(r\), on écrit que \(\displaystyle{E=\frac{-mv^2}{2}-\frac{GMm}{r}}\)
et pour éliminer \(v\), on utilise l'Equation Fondamentale de la Dynamique, \(\left(-\frac{mv^2}{r}\vec{u_r}\right)=\left(-\frac{GMm}{r^2}\vec{u_r}\right)\)
Ainsi \(\displaystyle{E(r)=-\frac{GMm}{2r}=\frac{U(r)}{2}}\) et par conséquent, \(R_2 < R_1\) : le satellite "tombe" sur Terre.
(2 points)
(1 point)
Mais si on élimine \(r\), on obtient \(\displaystyle{E=\frac{-mv^2}{2}=-T(v)}\) et donc \(T(v_2)>T(v_1)\)
paradoxalement , le satellite a été accéléré.
(1 point)
L'explication vient de ce que la force de gravitation travaille également lorsque \(r\) varie :
\(W_g=U(R_1)-U(R_2)>0\) et on a bien
\(W_f+W_g=(E(R_2)-E(R_1))+(U(R_1)-U(R_2))=T(R_2)-T(R_1)>0\)
car \(\displaystyle{E(r)=\frac{U(r)}{2}}\) entraîne que \(\displaystyle{W_f=\frac{-W_g}{2}}\)
(2 points)