Jeu de l'igloo
Durée : 9 mn
Note maximale : 9
Question
Un enfant esquimau a réussi à s'installer au sommet d'un igloo. A un certain moment, il quitte cette position d'équilibre (instable) et glisse le long de la surface.
Lorsque l'effet du frottement est négligeable, on constate (et on peut montrer) que l'enfant "décolle" avant de toucher le sol.
On admet que l'enfant peut être assimilé à un point matériel. On suppose que la surface de l'igloo est hémisphérique. Enfin , on tient compte du frottement entre le point matériel et la surface.
Dans un plan vertical, on repère par l'angle \(\theta_f\) l'endroit où le point matériel quitte la surface.
Quel est le travail des forces de frottement entre \(S\) et \(M_f\) ?
Retrouvez la valeur \(\theta_0\) de \(\theta_f\) en l'absence de frottement.
Solution
Le point matériel est soumis à l'action de la pesanteur (verticale) et à la réaction de la surface (normale).
En présence de frottement, le point matériel est soumis aussi à une action qui s'exerce suivant la tangente à la surface :
\(\vec{F}=-mg\vec{u_z}+N\vec{u_r}+f\vec{u_\theta}\)
(2 points)
Par rapport au Référentiel galiléen lié à l'igloo et au sol, l'Equation Fondamentale de la Dynamique s'écrit : \(\vec{F}=m\vec{a}\)
(1 point)
Le long de la surface de l'igloo, la trajectoire est circulaire et l'accélération est centripète :
\(\displaystyle{\vec{a}=-\frac{mv^2}{R}\vec{u_r}}\)
(1 point)
Si le point matériel est au contact de la surface, \(N>0\) : sinon, \(N=0\).
En projetant l'Equation Fondamentale de la Dynamique sur \(OM\), on obtient
\(\displaystyle{N=mg\cos\theta-\frac{mv^2}{R}}\)
(1 point)
(1 point)
Le travail de \(f\) entre \(S\) et \(M\) est égal à la variation de l'énergie mécanique :
\(W_f=\frac{mv^2}{2}+mgR(\cos\theta-1)\)
(1 point)
On a donc, lorsque le point matériel quitte la surface en \(M_f\) (lorsque \(N=0\)!).
\(W_f=mgR(\frac{3}{2}\cos{\theta_f}-1)\)
(1 point)
En l'absence de frottement, le décollage a lieu en \(M_0\) tel que \(\theta f = \theta_0\) avec \(\displaystyle{\cos\theta_0=\frac{2}{3}}\)
(1 point)