Jeu de l'igloo (suite)
Durée : 8 mn
Note maximale : 8
Question
Un enfant esquimau a réussi à s’installer au sommet d’un igloo. A un certain moment, il quitte cette position d’équilibre (instable) et glisse le long de la surface.
La question est de savoir s’il va rester au contact de la surface de l’igloo ou bien s’il va "décoller" avant de toucher le sol.
On admet que l’enfant peut être assimilé à un point matériel. On suppose que la surface de l’igloo est hémisphérique. Enfin, on néglige naturellement le frottement entre le point matériel et la surface.
Déterminez, dans un plan vertical, l’endroit où le point matériel quitte la surface.
Solution
Le point matériel est soumis à l’action de la pesanteur et à la réaction de l’igloo qui est normale à la surface en l’absence de frottement :
\(\vec{F}=-mg\vec{u_z}+N\vec{u_r}\)
(2 points)
Par rapport au Référentiel galiléen lié à l’igloo et au sol, l’Equation Fondamentale de la Dynamique s'écrit :
\(\vec{F}=m\vec{a}\)
Comme la vitesse initiale est nulle, la trajectoire se trouve dans le plan vertical \((\vec{u_z},\vec{u_r})\), qui contient la force \(\vec{F}\).
(1 point)
Le long de la surface de l'igloo, la trajectoire est circulaire et l’accélération est centripète :
\(\displaystyle{\vec{a}=-\frac{mv^2}{r}\vec{u_r}}\)
(1 point)
Si le point matériel est au contact de la surface, \(N > 0\) : sinon, \(N = 0\).
(1 point)
En projetant l’Equation Fondamentale de la Dynamique sur \(OM\), on obtient
\(\displaystyle{N=mg\cos\theta-\frac{mv^2}{R}}\)
(1 point)
La conservation de l’énergie mécanique entre \(S\) et \(M\) s’écrit :
\(\displaystyle{mgR(1-\cos\theta)=\frac{mv^2}{2}}\)
(1 point)
On a donc, \(N=mg(3\cos\theta-2)\)
et le point matériel quitte la surface en \(M_0\) tel que \(N=0\), d’où \(\displaystyle{\cos\theta_0=\frac{2}{3}}\)
(1 point)