Mise en orbite circulaire
Durée : 8 mn
Note maximale : 8
Question
On veut placer un satellite artificiel de la Terre sur une orbite circulaire de rayon \(R\).
Quelle doit être la vitesse \(\vec{V}\) du satellite à l'instant où il est mis sur cette orbite si l'on veut qu'il y reste ?
Les données sont :
\(m\), masse du satellite.
\(M\), masse de la Terre.
\(G\), constante de gravitation.
\(g\), accélération de la pesanteur à la surface de la Terre.
Solution
L'énergie mécanique du satellite dans le champ de gravitation terrestre se conserve : on peut donc écrire
\(\displaystyle{\frac{mi^2}{2}+\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r}=\frac{mi^2}{2}+U_{eff}(r)=E}\)
(2 points)
Dans le cas d'une orbite circulaire, \(r=R\) : on a \(U_{eff}(R)=E\) et \(mRV=L\) car le moment cinétique est conservé lorsque le champ est central.
(2 points)
\(U_{eff}(R)\) est le minimum de \(U_{eff}(r)\) ; dans le cas contraire, l'équation \(\displaystyle{\frac{mi^2}{2}+U_{eff}(r)=E}\)
admettrait deux solutions \(r=R_1\) et \(r=R_2\) dans le cas d'une orbite fermée comme on le voit sur le graphe.
(2 points)
On a donc \(\displaystyle{\left(\frac{dU_{eff}}{dr}\right)_{r=R}=0}\)
ce qui donne \(\displaystyle{\frac{-L^2}{mR^3}+\frac{GMm}{R^2}=0}\)
ou bien \(\displaystyle{\frac{-mV^2}{R}+\frac{GMm}{R^2}=0}\)
(1 point)
On retrouve l'expression du Principe Fondamental de la Dynamique et finalement la vitesse est \(\displaystyle{V=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\left(\frac{g}{R}\right)^{1/2}R}\).
(1 point)